2021 Fiscal Year Research-status Report
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21K03313
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| Research Institution | University of the Ryukyus |
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Principal Investigator |
眞野 智行 琉球大学, 理学部, 教授 (60378594)
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2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 平坦構造 / 微分方程式 / 差分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、平坦構造と呼ばれる幾何構造についてそのプレポテンシャルを持たない場合への一般化、および線形微分あるいは差分方程式のとの関係についての研究を行った。今年度の研究成果について述べる。
1)本研究課題の最も主要なテーマである平坦構造について「拡張大久保型方程式」と呼ばれる線形偏微分方程式の観点から理論を展開するような内容の専門書の執筆を行った。この原稿を書き進める過程で「Okubo-Saitoポテンシャルの空間」という新しい概念が発見された。そこで「Okubo-Saitoポテンシャルの空間」を用いた理論構成を中心とする形に原稿の構成を書き改めた。「Okubo-Saitoポテンシャルの空間」は原始形式の積分からなる関数空間を一般化した概念であり、今後様々な方向への応用が期待できる。
2)平坦構造とその「Okubo-Saitoポテンシャルの空間」についていくつかの具体例について考察を行った。例えば、これまでの研究においてパンルヴェ方程式の解と3次元平坦構造が対応するという結果が得られているが、この対応に対して、今年度新しく得られた理論構成を適用してみると、パンルヴェ方程式の解に対応する平坦構造の下部構造に当たる 3つ組(M,D,Δ)が、パンルヴェ方程式の解の不変量を与えることが分かった。パンルヴェ方程式の解をこの不変量の立場から研究することは大変興味深い問題である。それと同時に、パンルヴェ方程式より(真に)簡単なガウスの超幾何方程式の場合に 3つ組(M,D,Δ)を正確に求め、Okubo-Saitoポテンシャルの空間を求めてみた。これは今後パンルヴェ方程式の超越解の研究を行う際に重要な指針を与える例となるであろう。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
今年度は、専門書を執筆する過程において Okubo-Saitoポテンシャルの空間という最も重要な概念を見出すことができた。これは、今までの理論構成を整理し、より大きな研究につながる可能性を持ったものではあるが、本研究課題の当初の研究計画には含まれなかったものである。今後の研究の展開の統一的基盤となるものと予想され、研究内容の質は飛躍的に上がると期待できるが、少し研究計画の練り直しも必要となる。
平坦構造と線形微分方程式のモノドロミー保存変形との関係(特にパンルヴェ方程式との関係)という点では、パンルヴェ方程式の不変量を平坦構造を用いて定義するという新たな見地は得られたが、それについて具体的な新しい結果はまだ得られていない。
研究環境についても、新型コロナ感染拡大の状況により国内あるいは海外への移動によって研究連絡を行うといったことが上手くできなくなっており、研究の進展にやや遅れが生じている。
このような理由により「やや遅れている」という自己評価を行った。
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度は、本年度に得られた「Okubo-Saitoポテンシャルの空間」を中心として、平坦構造と線形微分および差分方程式との関係について研究を進めたい。
少し研究計画の練り直しが必要であるが、そのため平坦構造についての様々な例を Okubo-Saitoポテンシャルの空間の観点から見直してみたい。特に複素多様体の変形族に関する例や、アフィンルート系あるいは楕円ルート系に対する平坦構造の構成を Okubo-Saitoポテンシャルの空間の観点から見直すことは大変興味深く、新しい展開が生み出される可能性が感じられる。
また、平坦構造の離散化の問題や超平面多重配置の自由性と Okubo-Saitoポテンシャルの空間との関係についても研究を進めたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナ感染拡大の状況により、各種の学会、研究集会などが中止あるいはオンライン開催となったため、旅費に使用する予定が大幅に変更になった。
次年度に旅費としてあるいはオンライン会議参加用の設備増強のために使用する予定である。
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