2021 Fiscal Year Research-status Report
Study of vector fields and development of convex analysis on complete geodesic spaces
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21K03316
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| Research Institution | Toho University |
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Principal Investigator |
木村 泰紀 東邦大学, 理学部, 教授 (20313447)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
佐藤 健治 玉川大学, 工学部, 教授 (70307164)
高阪 史明 東海大学, 理学部, 教授 (20434003)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 測地距離空間 / 凸最小化問題 / 均衡問題 / リゾルベント作用素 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、近年急速に発展が進んでいる完備測地距離空間上の凸解析学の理論を、ベクトル場の概念を用いて再構成することである。2021年度は、ベクトル場の研究を進めるための準備に相当する研究成果を得た。具体的には、測地距離空間上に定義された下半連続凸関数に対し、その関数に対応するリゾルベントと呼ばれる作用素を用いて、凸最小化問題と呼ばれる関数の最小点を求める問題に対する解の近似法の研究をおこなった。
さらに、凸最小化問題を含むさらに一般的な問題である均衡問題を考察し、均衡問題に対するリゾルベント作用素を適切に定義することで凸最小化問題と同様の解近似法を適用できるという知見を得た。とくに、曲率上限が正の値をとる測地距離空間においては、よい性質を持ったリゾルベント作用素が見つかっていなかったが、凸関数のリゾルベント作用素の定義を参考に、2021年初頭の研究で、本研究課題の目的に見合う均衡問題のリゾルベント作用素が定義され、この結果を利用することで解近似点列の生成やリゾルベント作用素の漸近的挙動に関する新たな知見が得られた。近似列の生成については従来よりさまざまな手法が提案されており、それらの多くが線形空間上のものから測地距離空間上のものへ一般化されている。今回得られた均衡問題のリゾルベント作用素はこれらの近似手法のほとんどが適用可能であるという点で、有効な性質を持っていると考えられる。
これらの結果の一部は既に研究論文として公開しており、他の部分についても、部分的に口頭発表などをおこなっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2021年度は本研究課題の初年度として、測地距離空間におけるベクトル場を定義するための準備を進めることに重点を置いた。当初想定していた、測地距離空間上の凸最小化問題や均衡問題に対する知見を深める研究については、順調に進み、予定通りの研究結果を得ることができた。とくに均衡問題のリゾルベント作用素に対する諸性質の研究については、曲率上限が正のもののみならず、上限が負の値となる空間に対しても類似の形で定義できる可能性を示唆する結果が得られている。これは当初の計画を上回る研究成果であり、本研究課題の最終目標に向けた研究を加速しうるものであると言える。
一方、研究打ち合わせや研究成果発表については、コロナ禍による行動自粛が大きく影響し、順調な進展とは言い難い状況が続いている。ある程度の困難は当初から想定していたが、遠隔会議での研究打ち合わせは対面に比べコミュニーケーションの密度が低く、研究が思うように進まない状況が続いている。成果発表についても遠隔会議での発表は一定数実施しているものの、質疑応答等による議論の質は対面に比較して高くなく、成果発表に対する外部からの参考意見は得られにくい状況である。以上のような状況ではあるが、本研究の進捗状況は総じて良好な状況であると判断できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
測地距離空間におけるベクトル場を定義するための準備段階の研究が順調な進捗をしていることから、今後のベクトル場の研究は当初の予定通り順調に進む見込である。とくに、曲率上限が負の空間に対するリゾルベント作用素に対し、想定通りの形で定義できることを示唆する知見が得られたことについては、今後の研究の進捗に対してよい影響を与えることが期待される。
また、ベクトル場の研究と関連が深い最小化問題に関する応用の一つとして、有限次元空間の特定の関数の最小点を求める問題に対する計算機実験を実施することを検討している。ベクトル場の研究に直接つながるものではないが、実験から得られる知見には間接的に本研究課題の推進に役立つ部分があると考える。
研究打ち合わせや成果発表については、今後対面での実施が実現されることを期待しているが、引き続き遠隔会議での実施も念頭に置き、可能な範囲でより効果的な方法を模索する予定である。
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| Causes of Carryover |
(理由) コロナ禍により、多くの国際会議が遠隔会議での開催となり、旅費の支払が発生しなかったため。
(使用計画) 新型コロナウイルスの蔓延状況が鎮静化し次第、研究成果発表のための国際会議への現地での参加を再検討する。状況が好転しない場合は遠隔会議での研究成果発表とし、次年度以降での使用を検討する。
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Research Products
(11 results)
