2021 Fiscal Year Research-status Report
Study on variational level set method for evolution of spirals by crystalline curvature flow
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21K03319
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| Research Institution | Gunma University |
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Principal Investigator |
大塚 岳 群馬大学, 情報学部, 准教授 (00396847)
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2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | クリスタライン曲率流方程式 / 等高線法 / 最適化問題 / スパイラル成長 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度はクリスタライン曲率流方程式によるスパイラル成長の等高線方程式について、粘性解理論に基づく解の一意存在の研究と、あわせてこれの最適化問題アプローチによる数値解法の数学解析について研究を行った。前者は先行研究を精査中で、新しい研究成果に至らなかった。後者の研究では、スパイラル成長等高線方程式を時間変数について離散化し、その差分方程式をクリスタラインエネルギーに基づく表面エネルギーと渦巻状ステップの位置変動を表す汎関数の最適化問題として定式化する。この最適化問題に対し解は一意に存在するかに加えて、その解から次の時間ステップの最適化問題を構成することができるかという問題について考察した。実際、渦巻状ステップの表面エネルギーは先行研究と同様に有界変動関数の範囲で定義されるが、位置の変動を表す部分においては先行研究と異なり、渦巻状ステップからの距離関数を用いることができない。そこで本研究では一般の等高線関数を用いて界面の位置変動を表す汎関数を定義したが、これには界面の初期位置を表す等高線関数の1階偏導関数を必要とする。すると最適化問題の解である有界変動関数からその1階偏導関数を取り出さねばならず、それゆえ次の時間ステップの最適化問題が定義できるかは自明ではない。
本年度の研究ではこの問題に対し、まず渦巻状ステップに対しクリスタラインエネルギーを密度関数とする異方的表面エネルギー汎関数を、全変動の拡張を用いて導入した。これを用いて考察する最適化問題に有界変動関数の範囲で解が存在することを証明し、次の時間ステップにおける最適化問題を有界変動関数の1階導関数にあたるラドン測度の密度関数を用いて構成する、という形で数値解法の持続可能性を示した。
また本研究における放物型方程式の解に対する最大値原理の研究の応用として、熱方程式によるデータの非線形N値分類器の基礎理論に関する成果が得られた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度予定していた、クリスタライン曲率流方程式によるスパイラル成長の等高線法定式に対する粘性解の一意存在については、先行研究の精査にとどまった。これは先行研究がクリスタライン曲率によるグラフ曲線の運動問題への粘性解研究を元にしており、精査するのに時間がかかってしまったことが理由の一つである。また同時に、より単純な粘性解の定義を基にした理論の考察や、先行研究で考察されたもの以外の境界値問題への拡張など、様々な拡張研究を念頭におきながら先行研究の精査を行ったため、研究の方向性が多少散逸してしまったことも、本研究の遅れの理由の一つと考えられる。
他方で、変分的等高線法に対する問題については数値解法に対する数学解析ながら、予定を少し前倒しして研究を進めることができた。有界変動関数からその1階偏導関数を取り出す方法の研究の過程で、有界変動関数や、最適化問題の解に対する正則性の研究成果に関する資料の収集なども行っており、今後の変分的等高線法の研究に対する有用な資料になると考える。
以上の理由から、本研究の進捗状況はやや遅れている、と考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
クリスタライン曲率流によるスパイラル成長の問題について、粘性解の比較原理、時間大域解の存在、近似方程式による極限などの解の安定性理論などの研究を中心に進めていく。とくに、クリスタライン曲率流による界面の時間発展の、ノイマン型境界値問題の考察が重要な課題となってくるので、これを中心に考察する。まずは通常の界面の時間発展問題においてノイマン型境界条件に対する粘性解理論を考察し、その結果をスパイラル成長問題に応用することを考える。また、後述の変分的等高線法からは、クリスタラインエネルギーに基づく自然境界条件を考える境界値問題が導出されると考えるので、この特異性を含む境界値問題への拡張を考察する。
変分的等高線法の研究については、発展方程式の手法に則って、変分不等式に基づく弱解理論の研究を進める。この研究の一つの手がかりとしては、数値解法における最適化問題の解の極限からこの問題を考察することができると考えている。が、この最適化問題における解は有界変動関数の範囲で得られているので、より強い意味での微分可能性など正則性に関する研究を行い、変分的等高線法の弱解理論を構築したいと考える。
また、今後の研究として粘性解による弱解と変分的弱解の関連性を明らかにするため、前述の最適化問題によるアプローチから得られる解の粘性解への収束問題を、集合論的手法から考察する。
上の方針に基づいて、先行研究の資料収集と、その論文著者らとの意見交換を行い、研究を進めていく。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍の影響で国内外の研究集会の多くが中止またはオンライン開催となるなどしたため、意見交換や研究集会における資料収集のための出張および海外への渡航を慎重に判断した。
使用計画については、次年度の研究集会および意見交換のための出張旅費等に使用する。
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