2023 Fiscal Year Research-status Report
Study on variational level set method for evolution of spirals by crystalline curvature flow
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21K03319
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| Research Institution | Gunma University |
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Principal Investigator |
大塚 岳 群馬大学, 情報学部, 准教授 (00396847)
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2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | クリスタライン曲率流方程式 / 等高線法 / 最適化問題 / スパイラル成長 / 粘性解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平面上の有界閉集合上で、クリスタライン曲率流方程式による界面運動の等高線方程式の、ノイマン型境界値問題に対する粘性解の存在および一意性の研究を行った。本研究では有界閉区間上でクリスタライン曲率と境界での接触角条件により時間発展するグラフの問題の先行研究について精査を行なった。現在はこれを等高線方程式に応用する研究を進めているが、成果を得るには至っていない。
変分型等高線法の数値解析に関する研究では、これまでの結果を論文にまとめる過程で、全変動ノルムの拡張から定めたクリスタラインエネルギーの汎函数が、L^1関数として1階微分可能な関数のソボレフ空間上で非等方な弧長汎函数になることを証明した。これは関数のサポートが定義域の開領域コンパクトに含まれるような状況では明らかであるが、スパイラル成長の研究では界面が境界に触れるため、サポートが定義域上コンパクトでない関数でこれを示す必要があった。
以上の研究の過程で、非有界領域上でのスパイラル成長問題の等高線方程式、およびその運動の漸近挙動に興味が発展し、これについての研究を行なった。等高線方程式ではまず等方的曲率流方程式の先行研究について文献調査を行なった。クリスタライン曲率流によるスパイラル成長では平面全体に広がるような無限個の辺を持つ多角形型曲線の時間発展を表す、常微分方程式の無限系を考察し、周期解の存在についての研究を行なった。本研究では多角形曲線の辺長の数列が常に無限大に発散するので、これに対応する重みつきノルムを数列空間に導入し、そのノルムで数列空間がバナッハ空間になることを示した。周期解の存在については、スパイラルの成長過程で新しい辺が生成されるごとに辺長の数列を取り出して、これが数列空間上で収束部分列を持つかを考える。本年の研究ではその前段階として、導入した数列空間上の有界列は収束部分列を含むことを証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
当初の研究計画から見れば、変分型等高線法についての研究成果としては順調とは言えず、遅れていると言わざるを得ない。他方で、本研究を進めるにあたり多くの課題や、発展的研究が生じている。これらについて一つ一つ解決をしながら研究を進めており、徐々に進行している。ただし、発展研究の成果から見ても、発表に至るものとしては依然として少ないため、本研究の全体の進捗状況は遅れてる、とせざるを得ない。
研究が遅れている理由としては、先行研究の精査について、その内容と量を過小評価したという点に尽きる。クリスタライン曲率流は凸解析、有界変動関数の理論を用いること、その特異性から適用可能な見通しの良い解析手法がかなり限られる。加えて、解析としては初等的だが内容としてはかなり複雑になる点列や数列の挙動、および関数の挙動を考察する必要がある。またスパイラル成長の等高線法では領域が非凸になり、非線形偏微分方程式論の先行研究ではなかなか触れられない問題になっている。さらに、スパイラル成長の問題では曲線の運動を、もともとそれが存在する平面上と、これを記述するのに導入した被覆空間の両面で考察する必要があって、位相的にも複雑になる。以上のことから、当初想定していた研究時間より多くの、集中してまとまった時間が必要となり、研究が遅れたと考えている。
本年、発展研究が多岐に渡ったのはクリスタライン曲率流によるスパイラル成長の考察で複雑化した問題を整理するために、状況を簡潔にした問題に戻ったことに起因している。そちらの問題でいくつか見通しの良いものが得られ始めているが、当初の想定からは外れていると言わざるを得ない。
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| Strategy for Future Research Activity |
変分的等高線法について、これまでの数値解析をまとめた論文については、可能な限り迅速に完成させ発表する。変分的等高線法の理論研究では、その元となる先行研究の精査のほか、非線形拡散を含む発展方程式論の研究が有用であると考えるので、これも精査したいと考えている。また、数値解析研究ではバンチング現象の研究で、適正粘性解理論に基づく拡張等高線法の研究を進めいたいと考えている。
クリスタライン曲率流によるスパイラル成長の等高線方程式の研究については、粘性解理論の研究を中心に行い、比較定理や解の存在に関する研究を進める。他方、ここまでの研究の中で、等方的な平均曲率流の等高線方程式においても未解決の課題がいくつか見つかっているので、クリスタライン曲率流の研究が進まないときの方策として、これらの研究も考えたい。また無限常微分方程式系を用いた周期解の研究を進めて特殊解の構成するなど、クリスタライン曲率流に対する粘性解理論の理解を深めたいと考えている。
また、これまでの研究をまとめる意味で、ある程度進展があり見通しの良いものはなるべく成果として確立するように、集中して研究を進めることを心がけたい。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍の影響が依然としてあり、いくつかの研究集会がハイブリッド開催になるなどした。また、2024年度に行われる国際研究集会への参加などを見込んで、2023年度の科研費の使用を慎重に判断した。
次年度の使用計画としては、6月に開催される界面発展問題と自由境界問題の国際ワークショップ、応用数理学会および日本数学会の年会・秋季総合分科会への参加や、国内外の研究者との研究打ち合わせなどの出張費用、論文原稿の英文校正費用等に使用する予定である。
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