2023 Fiscal Year Annual Research Report
Global solutions to the Cauchy problem for systems of quasi-linear wave equations satisfying the weak null condition
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21K03324
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| Research Institution | Mie University |
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Principal Investigator |
肥田野 久二男 三重大学, 教育学部, 教授 (00285090)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
横山 和義 北海道科学大学, 工学部, 教授 (20316243)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 零条件 / 非線形波動方程式 / 初期値問題 / 時間大域解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
空間3次元で方程式と初期値が球対称の場合には、解の存在証明の議論が空間1次元のときのようになる場合がある。そこで、前年度の空間3次元における球対称解の時間大域存在の研究で用いられた方法の自然な応用として、空間1次元のときの問題を考察した。空間1次元の場合の半線形波動方程式の特殊性として、エネルギー評価を使わないで、各点評価のみで逐次近似の評価が閉じる。この著しい利点がある一方で、空間1次元で非線形項が標準的な零条件(null condition)を満たすような、異なる伝播速度を持つ半線形波動方程式系に対する初期値問題の時間大域解の存在の証明に、この古典的な手法が有効であることを指摘した論文は、意外なことに皆無であった。そこで、この方向で研究を進めてみた。空間次元が2以上の場合とは異なり、空間1次元の場合は、解やその導関数の空間変数に関するsupノルムが時間変数に関して減衰することはないが、標準的な零条件のもとで非線形項は良い減衰を示す。このことを計算で確かめることが研究の主な内容になった。そして、この非線形項の時間変数に関する減衰を利用して、小さく遠方で素早く減衰する初期値に対して、時間大域解の存在を示すことに成功した。
特に全ての成分の伝播速度が同一の場合の結果は、LuliとYangとYuが重み付きのエネルギー型評価式を導出して、それを用いて示した時間大域解の存在定理の別証明を、各点評価の方法で与えたことに相当する。
また、1981年の未出版論文においてTartarが、1乗可積分ルベーグ空間（これは考察している半線形方程式系に対する自然な尺度変換の下でノルムが尺度不変なる空間）の枠組みで、小さな初期値に対する時間大域解の存在を証明したことをBianchiniとStaffilaniがarXiv論文で指摘したわけであったが、私たちの今回の研究はその別証明を与えたことにも相当する。
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