2023 Fiscal Year Annual Research Report
Development of Theory of Integrable Systems Describing Geometric Shapes
| Project/Area Number |
21K03329
|
|---|
| Research Institution | Kyushu University |
|---|
Principal Investigator |
梶原 健司 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (40268115)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | 可積分系 / 離散微分幾何 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
対数型美的曲線（LAC）の相似幾何による特徴付けとその拡張に関する理論を完成させた．LACを相似幾何における可積分変形に関する形状不変曲線と特徴付け，変分原理を定式化した．それを足がかりに可積分離散化，自然な3次元化による空間曲線版，またその可積分変形が張る曲面などを定式化し，さまざまな性質を解明した．空間曲線と曲面はmKdV階層とその線形化方程式（対称性）のなす結合系で統制され，さまざまな場合の明示公式を構成した．また，対称性による枠の積分公式を証明した．特に，相似捩率が定数である場合はユークリッド幾何で捩率と曲率が比例する場合に相当し，二次曲面とその変形が現れる．この場合はLACの直接の拡張と見なすことができ，「美的曲面」の候補の1つと考えられる．
また，建築構造分野で古典的なMichell-Prager型のトラス構造が可積分離散指数函数から得られることを示し，部材のなす離散曲線が実は上のLACの可積分離散化に他ならないことを示した．すなわち，この構造が可積分性，美的性，力学的合理性全てを兼ね備えた構造であることを示した．力学的性質については離散微分幾何における離散曲面の変換理論による統一的な記述を見出し，これらを用いて離散正則函数（離散等温曲率線網）による力学的合理性を有するトラス構造の生成を可能にした．
さらにLACの美的性の鍵とされる自己アフィン性について考察し，工業意匠設計分野で言われる自己アフィン性が実は2種類に分類されることを示し，1つは実質的にLACを導き，もう一つの自己アフィン性を有する曲線は放物線しかないことを示した．上の二次曲面と合わせて，これは美的形状を包括するもう一つの枠組みとして等積アフィン幾何があり得ること，また，相似幾何と合わせて究極的には射影幾何が自然な枠組みであることを示唆しているように思われる．
|
