2021 Fiscal Year Research-status Report
和算で扱われた計算幾何学問題に対する記号的消去計算アルゴリズムの現代化の研究
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21K03335
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
森継 修一 筑波大学, 図書館情報メディア系, 教授 (50220075)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 計算幾何学 / 数式処理 / 消去計算アルゴリズム / 和算 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
従来から取り組んできた「円内接多角形問題」の研究を引き続き行った。特に、n=7 (円内接七角形）の場合の「面積×半径」公式の計算を主課題とした。この問題に対する解法としては、(A) 終結式による消去計算ののち、因数分解を行って、真の因子を取り出す (B) 式の対称性や同次性に基づき、結果を想定して数値補間を行う という２方法が考えられる。
研究過程では、まず(A)の終結式を用いた消去計算による方法を模索した。与えられた七角形の分割法が複数とおり考えられるため、それぞれを精査してみたが、どの方法によっても、問題のサイズからみて、終結式計算を行うにはメモリが決定的に不足することが判明した。その結果、(B)の数値補間による方法に計算を切り換えた。この方法の場合、いわゆる「解と係数の関係」を用いて、対称式を基本対称式表現に直したものを計算対象とするため、問題のサイズを抑えることができる。実際には、最大で26,226元の整数上の連立一次方程式を解く必要があることが明らかになった。係数行列のサイズが一定以上になると直接計算することが困難になるため、それらの場合に対しては、モジュラー計算法も実装して、すべての方程式を解くことに成功した。最終的な結果は、31,590項の多項式となり、先行する研究で示されれた項数と一致した。ただし、先行研究では実際のアルゴリズムを明らかにしていないので、実行可能なアルゴリズムと計算負荷まで含めて明らかにした点では、オリジナルな結果といえると考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
円内接七角形に対する「面積×半径」公式の計算が完了した。その結果として、適切なアルゴリズムの選択と計算負荷についての評価が明らかにされた。速報として日本語論文（査読なし）が発行されたほか、詳細をまとめた英文論文は、日本数式処理学会誌に投稿し、採録が決定している。（ただし、学会側の都合により、掲載号の発刊が予定より遅れている。）
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| Strategy for Future Research Activity |
「円内接七角形の面積×半径公式」の計算が完了したことで、次の課題としては、２つの方向性が考えられる。
・n=8 (円内接八角形）の場合の「面積×半径」公式の計算に取り組む。
これには、D.Svrtanによる「New Brahmagupta's formula」の利用がカギになると思われる。
・シュタイナー環とよばれる図形を対象として、「デカルトの円定理」の拡張を題材として、効率的な消去計算アルゴリズムを考案する。
以前にこの問題に取り組んだときには、数式処理システムMapleのバージョンによっては、終結式による消去計算が安定的に計算できなかったので、問題をより整理して再議論する。2021年度の科研費で購入した数式処理システムmagmaは、代数計算に強いとされているので、こちらの性能と比較しつつ、計算を進める。
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| Causes of Carryover |
学会・研究会がすべてオンラインで開催されたため、2021年度においては、旅費の支出が結果的に発生しなかった。2022年度においては、オンサイトで開催される学会・研究会があれば、積極的に参加する。
また、現在使用しているWindowsのワークステーションが導入から12年経過している（初期導入OSはWindows7）ので、Windows10のサポート期限終了を見据えて、更新を検討する。
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Research Products
(2 results)
