2021 Fiscal Year Research-status Report
Application of saturated structures to the study of finite model theory
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21K03336
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
坪井 明人 筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (30180045)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
竹内 耕太 筑波大学, 数理物質系, 助教 (50722485)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | モデル理論 / 有限数学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
数理論理学におけるモデル理論(Model Theory)の研究では，研究対象となる数学的構造は無限構造を想定している．それは，モデル理論の研究において重要な手法が，コンパクト性定理の適用にあるからである．実際に有限構造の一般論の研究は，有限モデル理論(Finite Model Theory)という全く別の研究分野が形成され，研究者自体も２分野間で多くの交流がないという現実がある．しかし，一つの特定の有限構造を研究対象とする状況は，稀であり，通常はある性質を持つ有限構造のクラスに注目し，研究を行っている．さらに，そのクラスは無限クラスになる場合がほとんどであり，そこにはコンパクト性の本質的適用可能性が残っていると考えた．我々の研究グループは，自然数の超準モデルの中で議論をすることにより，そのモデルの中では有限性を持つが，実際には無限であるグラフ構造を用いて，１変数２階型論理（Monadic Second Order Logic）に関する表現可能性の研究を行った．その結果として，今まで知られている多くの事実が，この設定の中で議論を行うことにより，議論の単純化をすることができ，さらに知られていなかった事実も導かれることを示した．特に，グラフ言語で書かれた有限個の論理式の集合Tに対して，Tを満たし，サイクルを持たない有限グラフ全体のクラス C を考えた場合，クラス C は存在型１変数2階論理式を用いても，表現できないことが示された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
数学研究において，研究者間のアイディアの交換は大変重要な行為となる．しかしながら，ZOOM等を用いたセミナーだけでは，十分にアイディアを伝えることができないため，実際に黒板を使った研究打ち合わせ連絡が特に重要となる．
しかしながら，コロナの影響により，十分な研究打ち合わせができない現状にあり，研究がやや遅れている現状にある．
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| Strategy for Future Research Activity |
有限モデル理論は，コンピュータサイエンス（CS)との関連性が高い．もともと計算機は有限世界での対象であるが，その理論的研究においては，無限世界が機能する可能性が高いと考える．それは単なる有限世界の無限による「近似」以上の意味を持ち，モデル理論が貢献できる可能性が高いと考えている．今後は，この考え方を基本的な研究推進理念として，より広い視点から研究をすすめる．
技術的には，研究者だけでなく大学院学生を含めたセミナーの回数を増やしていくことを考えている．そこでは，数理論理学に興味があるCSの研究者にも参加をしてもらい，CS側からの問題提起もしてもらう必要があると考えている．
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| Causes of Carryover |
本来であれば，研究集会・学会に参加して，関連する研究者と実際に議論を行い，研究打ち合わせ等を行う予定でいたが，Covid の影響で，多くの研究集会がZoom開催になり，場合によっては中止になった学会もあった．このため予定していた旅費の使用を行わなかった．
次年度においては，パンデミックの影響が落ち着くことが期待され，実地での研究打ち合わせ，議論が可能になると考えている．
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