2022 Fiscal Year Research-status Report
Structures of locally planar 4-colorable graphs on surfaces
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21K03337
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
中本 敦浩 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 教授 (20314445)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | グラフ / representativity / 局所平面的グラフ / 閉曲面 / 頂点彩色 / 染色数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
四色定理により，任意の平面的グラフは4-彩色可能であることが，Appel-Harkenによって証明された．一方，球面以外の閉曲面上のグラフには，4-彩色不可能なものも存在するが，閉曲面Fのグラフの染色数は，Fのオイラー数のみで定まるある定数でその上界が抑えられることが知られている．
球面以外の閉曲面F上のグラフGは，Gの非可縮閉路の長さが十分に大きければ（Gが局所平面的であれば），Gは5-彩色可能であることがThomassenによって示された．これに対して，F上の局所平面的グラフで4-彩色不可能なグラフクラスは，次の２つのみが知られている．（１）局所平面的なFisk三角形分割，（２）向き付け不可能な閉曲面の四角形分割の面細分となる偶三角形分割．
本研究では，それ以外のグラフクラスが存在するのか，それとも存在しないのかという問題に焦点をあてて研究を行う．私はこれまで，閉曲面の四角形分割の染色数や，宮三角形分割の染色数の研究に長い間取り組んできており，そこで得られた知見がこのような研究テーマに大いに役に立つのではないかと考えられる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
コロナによる出張の制約により，海外の共同研究者との連絡が取りにくかったことや，海外で行われる研究集会に参加できなかったことが上げられる．さらに，もう１つの要因として，コロナ禍により研究期間を延長した研究課題があり，そちらの方に力を入れて研究を行ったことが上げられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究概要に示した問題について，その一般的な解決の糸口を見つけるのは難しいと思われる．したがって，閉曲面を限定して問題を考えることなどが有効な解決方法であると考える．2023年以降の研究では，そのようなアプローチで問題解決に取り組みたいと考える．
もう１つの問題として，射影平面の四角形分割が彩色的に不思議な現象を引き起こすことが知られている．そして，近年，2次元的な対象である「閉曲面の四角形分割」から3次元的な対象をうまく定義し，そのような四角形分割の染色数を調べるという研究がある．Kaiser-Stehlicは，d次元射影空間の四角形分割の染色数はd+2以上であることを示したのに対して，私たちは，四角形分割の定義を変更すると，任意のdに対して，d次元射影空間の四角形分割の染色数は，dの値によらず，4となることを予想している．それらの予想について取り組みたいと考える．
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| Causes of Carryover |
コロナ禍により，出張が予定通り実施できなかった．次年度は積極的に対外発表を行い，学生アルバイト等の研究補助を利用し，研究を加速させる．
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