2021 Fiscal Year Research-status Report
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21K03338
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
酒井 拓史 神戸大学, システム情報学研究科, 准教授 (70468239)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 反映原理 / 強制法公理 / 基数算術 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
初年度および本研究課題がスタートするまでの間に，aleph_n レベルの Rado 仮説およびゲーム反映原理からの帰結について研究を行った．以下では本研究課題の中心テーマである，3 以上の n に対する aleph_n レベルの反映原理を，高レベルの反映原理と呼ぶ．
aleph_2 レベルのゲーム反映原理は連続体仮説や特異基数仮説などを帰結し，基数算術に強い影響を及ぼすことが知られていたが，高レベルのゲーム反映原理も基数算術に対する同様の帰結を持つことを証明した．
aleph_2 レベルの Rado 仮説からは aleph_2 レベルの Fodor 型反映原理が帰結されることは以前から知られていたが，高レベルの Rado 仮説からも同レベルの Fodor 型反映原理が，比較的弱い仮定の元で帰結されることを示した．また，aleph_2 レベルの Rado 仮説と高レベルの Rado 仮説の違いについても，新たな事実を証明できた．aleph_2 レベルの反映原理からは特異基数仮説や弱いスクエア原理の否定を帰結する．一方で，高レベルの Rado 仮説は Prikry 強制拡大で保存されることを明らかにし，これにより高レベルの Rado 仮説が特異基数仮説や弱いスクエア原理の否定を帰結しないことを証明した．
また初年度は強制法公理が反映原理に及ぼす影響についても研究した．2010年頃に Jensen によって定式化された強制法公理 Subcomplete Forcing Axiom (SFCA) は，連続体仮説と無矛盾で，順序数の定常性反映原理を導くなど，興味深い強制法公理として注目されていた．SFCA が aleph_2 レベルの定常性反映原理を帰結するかどうかは重要な未解決問題となっていたが，これを否定的に解決した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
初年度終了までに，高レベルの Rado 仮説やゲーム反映原理の帰結について，新たな事実を証明することができ，研究はおおむね順調に進展していると言える．また，強制法公理 SFCA から aleph_2 レベルの定常性反映原理が帰結されないことも証明できたが，これは高レベルの反映原理の無矛盾性を考察する上で有用な知見となることが期待できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
初年度の高レベルの Rado 仮説の研究では，連続体濃度に何らかの帰結を与えるかどうかが明らかにできなかった．まずはこれを明らかにする．
研究代表者は2022年度に，京都大学数理解析研究所の共同利用研究集会の代表者となっており，最新の強制法の手法をテーマとする研究集会を開催する．そこに UCLA の Itay Neeman 教授をはじめ，最新の強制法の手法の開発者を招待している．彼らと議論および意見交換をしながら，サイドコンディション法などの強制法の手法を用いて，グラフに関するどのような反映原理が無矛盾であるかを研究する．
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| Causes of Carryover |
本研究課題は国内外の研究者と議論しながら進めるもので，旅費をその大部分として計上していた．2021年度は新型コロナウイルスの影響で，国内外の移動に制限があり研究代表者の研究旅行や他の研究者の招聘ができなかった．このために次年度使用額が発生した．
2022年度からは移動制限も緩和されることが予想される．また，2022年度には京都大学数理解析研究所の共同利用研究集会を代表者として開催する予定で，そこに国内外の研究者を招聘する予定である．また，研究代表者本人も国内外の研究集会に可能な限り参加する．次年度使用額はこのための旅費に当てる．また，新型コロナウイルス感染症の発生以来，国内外でオンラインのセミナーや研究集会も増えており，これに参加し円滑に議論をするための機材の導入にも当てる．
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Research Products
(4 results)
