2021 Fiscal Year Research-status Report

幾何学的視点からの固有値計算法の開発

Research Project

Project/Area Number	21K03361
Research Institution	Kitakyushu National College of Technology
Principal Investigator	豊永憲治北九州工業高等専門学校, 生産デザイン工学科, 准教授 (80390532)
Project Period (FY)	2021-04-01 – 2024-03-31
Keywords	固有値 / 多重度 / 精度保証付き数値計算 / グラフ
Outline of Annual Research Achievements	本研究では、代数的な行列の固有方程式の解である固有値と、幾何的なグラフ構造の間の関連性について研究し、幾何学的な構造から代数的な固有値の計算に対する新しい知見を導くことを目的としている。特に数学的に精度が厳密に保証される精度保証付き数値計算へのグラフスペクトル理論の応用を目的としている。従来の方法では、扱うシステムが多重固有値をもつ場合は、扱う行列が非正則になり、固有値の多重度が大きい場合、従来の不動点定理などを使った方法では、コンピュータを使っても狭い区間の中に固有値の存在を保証する場合が存在した。一般に、行列のサイズが大きくなり、固有値の多重度が増すと、固有値を包み込む区間の幅は次第に大きくなっていくが、グラフスペクトル理論における視点を用い、グラフの特別な頂点を除くことで、行列のサイズを小さくし、複数の連結成分に分割することで、多重度が大きい固有値に対しても、精度よく固有値の包み込みができる例が存在することが確認できた。特に、実対称行列の多重度が大きい固有値に対して精度保証付き数値計算を試みた。ある頂点を除いたときに、そのグラフに対応する行列において、着目している固有値の多重度が１つ上がる頂点を、その固有値に対するParter vertexというが、Parter vertexを持つ行列において、この方法が有用性があることが確認できた。精度保証付き数値計算の研究者とも情報交換し、更なるその有用性について議論を行うことができ、今後もこの研究を推進していくことが期待できる。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 当初の計画では、グラフスペクトル理論で得られているグラフ上の頂点を３種のクラスに分類し、頂点を除いても多重度が変わらないNeutral vertices の判別を行い、その頂点を除くことでグラフを小さいサブグラフに変形することで、多重度が高い固有値や近接固有値に対して、狭い区間に固有値を包み込む精度保証付き数値計算を計画していた。しかし、Neutral verticesを取り除く場合では、厳密に多重固有値をもつ行列の場合は、Interlacing Theoremより、精度保証付き数値計算で解の存在が保証できるが、近接固有値の場合は、その保証が難しい場合があるため、Parter verticesを除く方法を新たに試み、近接固有値の場合にも適応できる方法を見出すことができた。その結果、実対称行列が、多重固有値の多重度が高い場合だけでなく、近接固有値の近接度が高い場合でも、Parter verticesを持つ場合であれば、適用することが可能である。一般には、与えられた行列のサイズが大きい場合には、特定の固有値が厳密に多重固有値なのか、近接固有値なのかは判定できないので、Parter verticesを除く方法が有用である。精度保証付き数値計算の結果から、非常に小さい10e-14程度の区間幅で、多重固有値の精度保証付き数値計算法が可能である数値結果を得ることができた。精度保証付き数値計算の研究者に、関連する内容の講演をしてもらい、自分の研究結果に対する議論を行い、共同研究を模索している状況である。
Strategy for Future Research Activity	２０２１年度の結果として、実対称行列において、多重度が大きい固有値または近接固有値に対して、新しく開発した方法が有用である例が確認できた。ただし、Parter verticesをもつ行列に対してのみ有用であるため、Parter verticesを持たない行列に対し、グラフスペクトル理論をどう適応させるかは、今後の課題である。また、今後は非対称の行列に対して、g-Parter verticesを除く方法で、非対称の行列に対する多重度が大きい固有値に対しての精度保証付き数値計算の改良方法を検討する。とくに非対称の行列に対する精度保証付き数値計算では、従来の研究では、区間幅が非常に小さい区間に固有値を包み込むことは難しいため、今後グラフスペクトル理論からのアプローチを試みることで、一般の行列に対する多重度の大きい固有値や近接固有値に対しての精度の良い固有値の包み込み方法を検討する。また、コロナ禍のため、海外の研究者と交流することは難しくなってきているが、国内の数値計算の専門家との研究を検討中である。特に、一般の行列に対する計算精度などについて、従来の方法との比較検討をもとに新しい方法を検討する。精度保証付き数値計算の研究者とのさらなる議論を行い、より良い方法に対する共同研究を行う予定である。
Causes of Carryover	コロナ禍のため、外国出張が制限されていたために、外国出張に行けなかったこと、および国内会議もすべてが、遠隔によるミーティング形式のため、実質出張旅費を使う必要がなかったが、次年度に制限が緩和されたときに、出張旅費として使用したい。また、その分の費用を備品の一部の購入費用にあてることとした。バイアウト制を利用して、代替教員を雇用することを検討していたが、所属学校の規則制定により、バイアウト制の適用には制限が設けられ、私の科研費の額では、その他の費用をバイアウト制に適用することは難しいことがわかり、その他の費用全額を使うことができなかった。また、他大学の教員に、この研究分野についての講演をお願いしたときの謝金を払う予定であったが、講演者より辞退の申し出があったため、支払う必要がなくなった。