2023 Fiscal Year Research-status Report
Finite element error analysis on anisotropic meshes
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21K03372
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
土屋 卓也 大阪大学, 数理・データ科学教育研究センター, 招へい研究員 (00163832)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小林 健太 一橋大学, 大学院経営管理研究科, 教授 (60432902)
柏原 崇人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (80771477)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 有限要素法 / 誤差評価 / 形状正則性 / 異方的メッシュ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限要素法の実行の際に、偏微分方程式が定義されている領域を要素と呼ばれる図形で充填する必要がある。この操作を、領域の三角形分割、あるいはメッシュ (mesh) と呼ぶ。要素としては多くの場合、2次元領域では三角形、3次元領域では四面体が用いられる。有限要素法の特徴である数値解の厳密な誤差評価のために、三角形、あるいは四面体の形状に「形状正則性条件」(shape regularity condition) と呼ばれる条件が科されることが多い。形状正則性条件は、用いる要素があまり潰れていなく「ふっくら」していることを要求する。しかし、さまざま理由により、メッシュ内に潰れた要素が発生することがあり、その場合には有限要素法で得られた数値解の妥当性は、数学的には保証されないことになる。
そのような状況に対し2023年度で本研究では、メッシュ内に潰れた要素が存在しても、潰れた要素が良い三角形（2次元）あるいは良い四面体（3次元）により、「仮想的に」覆われていれば、そのメッシュを用いた有限要素法の解の精度は劣化しないことを厳密に示した。また、数値実験によりその結果を確認した。この結果を論文にして投稿中である。
さらに、本研究の発端となったいわゆる「Kobayashiの公式」については、論文がいまだに発表されていない状況である。そのため、研究分担者の一橋大学小林健太教授とともに、Kobayashiの公式の証明の細部の検討を始めた。なるべく早く（2024年夏頃までに？）論文にまとめて投稿する予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2023年度に得られた結果は以下のとおり。メッシュ内に潰れた要素があったとしても、潰れた要素が「良い要素」で「仮想的にカバーされていれば」、得られた有限要素解の精度は劣化しないことを、厳密に証明した。この結果を、
Kobayashi,Tsuchiya, "Error esitimation for finite element solutions on meshes that contain thin elements" にまとめ、学術雑誌に投稿した。また、arXivにもアップロードした(arXiv:2402,18860)。
また、「Kobayashiの公式」の証明の細部の検討を始めた。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度（2024年度）は、以下のことを目標にする。
(1) 一連の研究のもとになったいわゆる「Kobayashiの公式」を再検討し、論文にまとめ投稿する。
(2) Stokes方程式に対していわゆるinf-sup条件が、潰れたメッシュ上でも成り立つかどうかを詳しく検討する。まずCrouziex ~Raviart要素を用いた場合に調べる。
(3) 通常、有限要素法で使われるメッシュは適合的なものである。つまり、メッシュ上にはハンギングノードは存在しない。今年度では、ハンギングノードを含むメッシュ上での不連続がレルキン法の誤差解析を進める。
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| Causes of Carryover |
コロナ感染拡大の影響で、国内外への研究会の延期・中止が相次いだ。そのため、使用する予定の旅費が余ってしまい、次年度(2024年度）に繰り越すことになった。
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