2022 Fiscal Year Research-status Report
Development of numerical verification method for resolvent
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21K03373
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| Research Institution | Saga University |
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Principal Investigator |
木下 武彦 佐賀大学, 理工学部, 准教授 (30546429)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 精度保証付き数値計算 / レゾルベント / 楕円型境界値問題 / 作用素方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和4年度は令和3年度に得られた非線形楕円型境界値問題の線形化作用素に対する近似レゾルベントの収束性に関する結果をまとめた論文が査読付き論文誌に掲載されました．この近似レゾルベントはスペクトル法や有限要素法が持つ妥当な仮定の下で収束性を示すことが出来，さらに一般の Galerkin 法でも同様の収束性が言えると考えられます．また，対象とする問題も非線形楕円型境界値問題に限らず，非線形一般化重調和問題や，さらに一般化した抽象的な関数方程式の境界値問題を背景に持つレゾルベントに対してもに対しても同様の近似レゾルベントの収束性があることを発見し，現在はその結果を論文にまとめています．
また，令和4年度にはレゾルベントの存在性を検証するための新たな手法の開発や，高精度の定量的な事前誤差評価の結果が得られ，これらをまとめた論文が査読付き論文誌に掲載されました．新たなレゾルベントの存在検証手法は多くの問題で従来手法よりも堅牢でより良い評価を得ることができました．高精度な事前誤差評価は近似レゾルベントの収束オーダーや事後誤差評価を考察する際の基礎的な研究となります．この事前誤差評価は Galerkin 法と精度保証付き数値計算を組み合わせ，誤差評価の最良定数を包含することに成功しました．通常，事前誤差評価の最良定数を求めることは困難ですが，本研究を通して精度保証付き数値計算を用いることで最良定数を含む極めて狭い区間を手に入れることができました．この手法を一般化して他の種類の事前誤差評価を得ることも可能であると考えられます．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本助成事業の援助により，共同研究者との討論の場を設けることができました．その結果，令和3年度には非線形楕円型境界値問題の線形化作用素を背景とするレゾルベントに対する近似手法とその収束性に関する結果が得られ，その結果を国際会議で報告し，論文にして投稿しました．論文は現在査読中です．また，共同研究者との議論により，本手法をより一般の境界値問題を背景とするレゾルベントにも拡張できる可能性が得られました．令和4年度にはこの可能性を追求し，令和3年度に得られた結果の拡張に試みます．
以上の理由から，当該研究はおおむね順調に進展しているといえます．
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| Strategy for Future Research Activity |
令和4年度は非線形一般化重調和方程式の線形化作用素から導かれるレゾルベントに対する近似手法とその収束性について研究を行います．一般化重調和方程式と楕円型偏微分方程式は共に境界値問題となるため，令和3年度で得られた結果に近いものが得られると予想しております．そして，一般化重調和方程式と楕円型偏微分方程式の結果を元に，これらを統一的に扱える抽象的なレゾルベントに対する近似手法およびその収束性について研究を行います．そのためには令和3年度と同じく，共同研究者全員との議論の場を設けて，本研究課題を深く掘り下げたいと考えています．研究が順調に進まなかった場合には抽象的なレゾルベントに対する考察は諦め，一般化重調和方程式から導かれるレゾルベントの近似について集中的に研究を行い，楕円型偏微分方程式との本質的な違いについて考察を行います．
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| Causes of Carryover |
令和4年度はほぼ計画通り助成金を使用しました．令和4年度前半はまだコロナ禍の影響で研究集会がオンラインで開催されたこともあり，旅費の使用が少なかったため若干の未使用額が生じました．令和5年度は繰越額も含めて計画通りの研究費を使用する予定です．
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