2021 Fiscal Year Research-status Report
グレブナー基底計算の理論計算量解析とその効率的な実装
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21K03377
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| Research Institution | Rikkyo University |
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Principal Investigator |
横山 和弘 立教大学, 理学部, 教授 (30333454)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
野呂 正行 立教大学, 理学部, 教授 (50332755)
篠原 直行 国立研究開発法人情報通信研究機構, サイバーセキュリティ研究所, 研究マネージャー (70565986)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 計算機代数 / グレブナー基底 / 計算量解析 / 多項式イデアル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和３年度は第１段階の研究を行った。
理論解析では、SBAアルゴリズムの計算量やグレブナー基底の計算の高速化に有効とされる多項式環の特定の項順序に関する文献調査を行い、利用できる数学理論の選別を行った。また、グレブナー基底にはならなくても、求めたい形のイデアル生成元を計算する戦略も検討した。これらは令和４年度中に成果をまとめる予定である。
SBAアルゴリズムの実装とその有効性検証では、多項式環の項順序と整合しない(compatibleでない)加群項順序を用いたSBAアルゴリズムは停止性が保証されないが,
入力イデアルをある項順序に関するグレブナー基底とすることで, Hilbert-Poincare 級数による停止条件を用いて目的項順序に関するグレブナー基底を有限回の手間で計算する方法を考案した。この方法ではsyzygy criterionにより0簡約が生じないため、モジュラー演算を用いなくても効率よく有理数体上のグレブナー基底が求められる。当初は、非0次元イデアルに対してのみ有効であると予想したが, 実際には 0次元でも有効な場合があることがわかった。
応用実験では、連立代数方程式に帰着できるいくつかの問題で、SBAアルゴリズムを直接適用する段階ではないが、既存の方法の実験を行った。実験計画法に関するある数え上げ・分類問題では、この方程式は0次元で解が35200個あるが、Risa/Asir の準素分解機能を用いて効率よく求めることができた。暗号応用では、同種写像暗号の基礎となる数学計算にグレブナー基底計算を利用した改良を雑誌で発表した。多変数公開鍵暗号の安全性評価では、連立２次方程式 (MQ問題) を扱い、S多項式及びreductorの選択方法として，多項式の2番目に大きな項に注目した新たな方法を提案し、効率よく計算できることを数値実験的に立証した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
SABアルゴリズムの計算量解析に関しては、成果発表までには至っていないが、基軸とすべき数学理論とその議論展開の道筋が明確になっている。
SBAアルゴリズムの実装においては、SBAアルゴリズムをその他の計算技法と組み合わせた手法を提案し、その高速化の検証に成功した。最終的にはSBAアルゴリズム単体での高速化が目標であるが、これはそのマイルストーンになると考えている。
応用では、SBAアルゴリズムの直接適用までは至っていないが、いくつかの工学的問題に対して、それから得られるイデアルの構造解析や連立代数方程式の求解問題を扱い、グレブナー基底計算の有効性を検証している。
以上により、理論面の進捗が遅れ気味ではあるが、その他のテーマの進捗を合わせると、当初の計画に沿った形でおおむね順調に進展していると思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
理論研究では、初年度で得られた方針にしたがい、令和４年度末までに、「実際の計算」と整合する計算量評価を簡単なケース（０次元等）で詳細に解析する。
実装研究では、数式処理システムRisa/Asir上の実装実験を引き続き行い、最適な順序の考察やF4計算法との融合を図る。
応用研究では、連立代数方程式の求解を引き続き行う。従来のグレブナー基底計算にいくつかの改良を行っての実験から得られた知見を活用して、SBAアルゴリズムを直接連立代数方程式に適用する実験を開始する。
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| Causes of Carryover |
コロナウィルス蔓延の影響で、国内外の研究集会がオンライン化されたため、出張関連の予算の執行ができなかった。また、実装実験用に購入予定であった計算機サーバーについては、従来の計算機環境での実験を行うことで、機種選定を見直し、令和４年度に入手可能になる、より高性能PCの購入に変更した。
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