2023 Fiscal Year Annual Research Report
グレブナー基底計算の理論計算量解析とその効率的な実装
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21K03377
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| Research Institution | Rikkyo University |
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Principal Investigator |
横山 和弘 立教大学, 理学部, 名誉教授 (30333454)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
野呂 正行 立教大学, 理学部, 教授 (50332755)
篠原 直行 国立研究開発法人情報通信研究機構, サイバーセキュリティ研究所, 室長 (70565986)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 計算機代数 / グレブナー基底 / 多項式イデアル / 計算量解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
理論解析では、イデアルの生成系がアフィン半正則になる場合に既存の計算量解析の検証を行い、その改良およびグレブナー基底の計算過程の正確な記述に成功した。これらの成果として、1件が欧文雑誌に投稿し採択され、もう1件が計算代数幾何の権威ある国際会議MEGAに採択された。また、暗号におけるグレブナー基底計算に関する計算量について国際会議ICIAMで口頭発表を行った。係数にパラメータを持つ多項式因数分解にグレブナー基底計算が適用できることも示した。
アルゴリズムの実装とその有効性検証では、Risa/Asirのマルチスレッド化を行った。F4 アルゴリズムの実装においてreuducer setを固定したベクトル形式での多項式除算とmodular計算による行列簡約の部分を並列化した。実験の結果、8スレッド程度までの並列化では十分な台数効果が得られることが分かった。また、2021年度に考案したnon-compatibleな順序の下でのSBAについて、改めて詳細な実験を行った。実験では、さまざまな例に対し全次数逆辞書式順序グレブナー基底を入力として辞書式順序グレブナー基底の計算を行い、計算時間・中間基底の係数の大きさなどを調べた。結果として、多くの場合に先頭項のみの簡約が計算時間の短縮において有利だが、少数の例で係数の大きさが影響して多項式全体を簡約する場合ほうが有利な場合があることが分かった。応用として、実験計画法におけるある条件を満たす一部実施計画の決定を、あるイデアルの零点計算に帰着させ、それを実際に解くことにより解決した。
応用研究では、多変数公開鍵暗号の安全性の基礎となるMQ問題と呼ばれる「連立2次多変数代数方程式の解を求める問題」をグレブナー基底計算を使って効率的に解くことを引き続き検討し, MQ問題を効率良く解くためのS多項式選択方法を提案し、その効率性を数値実験的で確認した。
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