巡回ライプニッツ則を使った格子超対称性の構築とテンソルネットワーク計算

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03537
• Research Institution: Ehime University
• Principal Investigator: 宗 博人 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (20196992)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 加藤 光裕 東京大学, 大学院総合文化研究科, 教授 (80185876) ; 坂本 眞人 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (30183817) ; 加堂 大輔 同志社大学, 理工学部, 准教授 (90447219)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 格子場の理論 / ライプニッツ則 / 確率過程量子化 / 代数的な性質

Outline of Annual Research Achievements

2022年度の研究は、巡回ライプニッツ則の代数的な性質と高次元への応用である確率過程量子化での高次元場の理論を離散的な架空時間を用いてなるべく精密に計算出来るようなアプローチを追求し、結果を得た。
（1）巡回ライプニッツ則の代数的なアプローチについて
この研究課題で重要な格子上の超対称性の実現において、差分演算子を含む変換や格子上の作用でその変換の対称性をフルに表現するのは困難であることはすでに知られているが、その対称性の一部を格子上で表現するのはこの巡回ライプニッツ則を使えば可能であることが、低次元模型では我々によって示されてきた。この巡回ライプニッツ則を離散群（巡回群）の表現として、もう一度見直そうというのが、この「代数的なアプローチ」である。巡回群の表現を利用することにより、次元数の違いを超えて理解が深まると予想され、大枠（格子場の理論における巡回群の元と表現空間の構成）は理解され、今は従来の巡回ライプニッツ則の解を再構成している途中である。また、高次元ライプニッツ則の解の理解も進めている。
（2）確率過程量子化よる高次元場の理論を離散的な架空時間を用いたアプローチについて
確率過程量子化の中で超対称性(Parisi-Sourles)の変換及び理論の対称性の議論が生じる。その時間を離散的（格子化）にすることで、数値的にも構成的な場の理論の立場的にも明確にしようということであるが、二つあるParisi-Sourles対称性の一つを厳密に成立させるためには変数の架空時間方向の差分と元々の作用のクロス項の扱いが重要になる。もともとこのクロス項の扱いを明確にするのが巡回ライプニッツ則の特徴であったので、離散的な架空時間での確率過程の量子化に巡回ライプニッツ則を応用した計算を行い、離散時間での厳密な結果を得た。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

当初、二次元超対称模型(Wess-Zumino模型)の格子化に超対称性を部分的に尊重しながら
アプローチするつもりで二次元巡回ライプニッツ則を探していたが、実際に見つかった高次元解は連続極限で0となるものばかりであった。さらに連続極限が非自明な高次元解は簡単には見つかりそうにないことが
段々分かってきた。そのため、一次元巡回ライプニッツ則の解の性質と高次元巡回ライプニッツ則の解の性質の違いを代数的に理解することおよびさらなる巡回ライプニッツ則の解の性質の理解（例えば、基本解と呼ばれる特殊な有限な数の解の組を見つける。）を今は始めている。
また、高次元の場の理論の量子化を、架空時間発展に伴った確率微分方程式を解くことで実行する方法（確率過程量子化）があるが、この架空時間を離散化することで、今考えている高次元場の理論を計算機に載せる事が出来る。この離散化された架空時間を格子と思うことと共に、架空時間発展と元々の高次元場の理論のクロス項の扱いが巡回ライプニッツ則の得意とするあつかいであり，Parisi-Sourlesの対称性と言われる超対称性とよく似た対称性があるので、その点を考慮しながら、離散化された架空時間での確率差分方程式、もしくはそれの経路積分形式を研究している。

Strategy for Future Research Activity

現在までに見つかった二次元巡回ライプニッツ則の解は連続極限で0となるものばかりであった。そこで、一次元巡回ライプニッツ則の解を使った超対称量子力学模型と正確に同じ形での二次元アプローチではなく、二次元理論も含む場の理論の離散架空時間の確率過程量子化に、巡回ライプニッツ則やその他のアプローチを応用して、精密な計算を出来る形式を用意する。また、代数的なアプローチなどを通して、巡回ライプニッツ則のさらなる性質を明らかにして、二次元ではどうして連続極限で非自明な解がなかったのかを理解する。また、巡回ライプニッツ則の一般の解も線形結合で表現できる基本解の性質と構成を行う。
さらに、現在見つかっている巡回ライプニッツ則の二次元解の物理への応用も追求する。

Causes of Carryover

もともと、この研究体制の研究代表者と3名の研究分担者の所属する機関が全て離れているために、年に複数回の対面での研究打ち合わせをするように、旅費使用を予定していた。が、過去2年間、新型コロナの影響で、出張もままならなかったので、予定していた旅費を使う機会が少なかった。代わりにメールやZoomなどを利用して研究を続行してきた。最終年度である令和5年度は、新型コロナの影響も軽減されると思うので、今までの分も挽回すべく旅費を使用して、活発に対面で議論し研究をまとめ上げ、研究成果を出したい。