2022 Fiscal Year Research-status Report
断熱的時間依存平均場理論に基づく大振幅四重極集団ダイナミクスの解明
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21K03563
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| Research Institution | Kochi University |
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Principal Investigator |
佐藤 弘一 高知大学, 教育研究部人文社会科学系教育学部門, 講師 (10610991)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 原子核構造 / 大振幅集団運動 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
断熱展開の2次の集団演算子を入れた断熱的自己無撞着集団座標(ASCC)理論についての理論的・数値的解析を行った。先行研究では、2次の集団演算子を入れたASCC方程式を、1次元のLipkin模型に適用し、2次の集団演算子が実際に集団ダイナミクスに寄与しうることを示したが、本研究ではより現実的な系として超流動性のない3準位模型[SU(3)模型]への適用を試みた。SU(3)模型は、2つの角度変数で系の状態ベクトルが特長づけられる実質2次元の系である。
2次の集団演算子を入れた新ASCC理論の基本方程式は、集団座標演算子に対する1本の常微分方程式とmoving-frame Hartree-Fock(HF)方程式という変分方程式に帰着され、これらを連立し、逐次的に解くことで集団的自由度を抽出する。通常、これらの基本方程式はポテンシャルの極小点を初期値として解き進める。2次の集団演算子を入れたASCC方程式をSU(3)模型に適用して初期値問題として数値計算を試みたところ、数値的不安定性が起こり逐次計算が収束せず、解が得られないという現象に遭遇した。ASCC理論は1970年代に提案された断熱的時間依存HF(ATDHF)理論の進化版であり、基本方程式が一部共通している。この数値的不安定性は過去のATDHF計算でも見られた現象であり、当時はその原因が良くわかっていなかった。ここでは平衡点付近での線形化解析を行うことで、ATDHF方程式やASCC方程式がポテンシャル極小点を初期値とした場合には解の一意性が破れる一方、鞍点からの場合は一意性が保たれることを、具体的な模型によらず一般の場合に示すことに成功した。これでASCC方程式だけでなく、長らく解明されていなかったATDHF方程式で数値的不安定性が起こる原因が解明されたことになる。この結果は、日本物理学会2023年春季大会で報告された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
ASCC理論は、多次元の位相空間から集団運動の記述にとって本質的な少数次元の自由度を抽出できる理論である。この２次の集団演算子を入れたASCC理論は、既に先行研究でLipkin模型の場合にその有効性が示されたが、Lipkin模型は元々の自由度が1次元の模型であるから、これではまだ多自由度の中から集団的自由度を抽出したことにはならない。そこで今年度の研究方策としてまずは、2次元系であるSU(３)模型に新ASCC理論を適用し、2次元空間から1次元の集団的自由度を抜き出すという課題に挑戦した。系の次元に依らず、2次の集団演算子を入れたASCC理論の基本方程式は、集団座標演算子に対する常微分方程式に帰着される。2次元のSU(3)模型の場合も1次元のLipkin模型の場合と同様に、ポテンシャルの平衡点からの初期値問題として微分方程式を解き進めることを当初試みたが、何らかの原因で数値的不安定が起き、数値計算が収束せず解が得られなかった。これが研究の進捗が遅れた原因である。数値計算コードをチェックし、複数のアルゴリズムを試したものの方程式の解を得ることはできなかった。
この原因を調べるべく、基本方程式をポテンシャルの平衡点付近で線形化し、解析したところ、平衡点では方程式の持つ特異性のために一般に解の一意性が破れており、注目しているモード以外のモードの成分が交ざりこむ自由度が存在するということを、模型に依らず一般的に示すことができた。これが2次元以上の系で数値的不安定が現れる原因である。実はこれは、過去のATDHF計算がうまくいかなかった原因に他ならないことも分かった。数値計算の進捗自体は当初の予想よりも遅れているが、長らく解明できていなかった過去のATDHF理論の問題の解決に繋がる重要な発見があったという点で、研究全体の進捗としては「やや遅れている」程度と判断するのが妥当と考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
2次の集団演算子を入れたASCC理論をSU(3)模型に適用した場合に、数値的不安定のために解が得られないという状況が続いていたが、ここまでの研究で漸くその原因を突き止めた。ASCC理論では集団経路の各点で状態ベクトルと集団演算子(集団変数とそれと共役な集団運動量演算子)を求め、次に進むべき方向を決定し位相空間中での集団経路を求める。状態ベクトルに集団運動量演算子で与えられる並進の生成子を作用させれば、集団経路の次の点が得られる。集団演算子は、集団運動の固有振動数を含んだ非線形な微分方程式を解くことによって決定されるが、この方程式は各集団モードごとに解く必要がある。
これまでの研究で、この微分方程式はポテンシャルの平衡点で特異性を持ち、解の一意性が破れることが分かった。より具体的には、ポテンシャル極小点では注目しているモードより高いエネルギーのモードが、鞍点や極大点では注目しているモードより低いエネルギーのモードの成分が交ざりこむ自由度がある。このため、初期値問題として通常の初期条件を与えても、この自由度の数だけ解が不定性を持つことになる。逆に言えば、通常の初期条件に加えて付加的に条件を与えることで、この自由度をおさえてしまえば解は一意に決定できるはずである。この付加的な条件としては、各モードの直交性が考えられる。平衡点直上ではモードの直交性が成り立つことは分かっているから、課すべき条件はモードの直交性と考えてよいだろう。まずはSU(3)模型の場合にこの付加的条件を課してASCC方程式を解くことで、解を一意に決定し、集団経路を抽出することに挑戦する。2次の集団演算子を入れたASCC理論と入れない従来のASCC理論との結果を比較し、(本来、単純な次数勘定では無視できないにも関わらず)従来の計算で無視されてきた2次の集団演算子がダイナミクスに与える影響を検証する。
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| Causes of Carryover |
当初の計画では、国内外の学会や国内での研究打ち合わせ・情報交換のために、数回ほど出張を行う計画であり、そのための旅費として当該年度の経費を見積り、申請をしていた。しかし、新型コロナウィルスの影響もあり、研究会・学会が延期もしくはオンライン開催となったことで想定よりも支出が少なくなり、次年度使用額が生じた。使用計画であるが、コロナ禍の状況が改善し、国内外の研究会に現地参加できるようになってきたので、研究会参加のための旅費や参加費として使用する計画である。
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