2023 Fiscal Year Research-status Report
Integrability structure of quantum period and its application
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21K03570
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
伊藤 克司 東京工業大学, 理学院, 教授 (60221769)
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2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 量子周期 / ODE/IM対応 / 厳密WKB解析 / Stark効果 / 超対称量子力学 / Drinfeld-Sokolov階層 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究ではこれまでの摂動論的アプローチでの解析が困難であった強結合超対称ゲージ理論, ゲージ重力対応, 量子力学系を調べる新しい 研究方法として, 量子周期に着目する。 特に常微分方程式と量子可積分模型の対応(ODE/IM対応)を用いて, 量子周期の非摂動的な構造を明らかにする。
本年度の研究では, 一般的した変形されたアフィン戸田方程式に付随する線形方程式系のWKB解析を行った。この線形方程式系は高階常微分方程式と同等であり, シュレーディンガー方程式をA1型リー代数の場合として含むものである。ゲージ変換により線形方程式を対角化することにより, WKB周期を求めるためのRiccati方程式を決定し、それが対応する高階常微分方程式の随伴方程式のRiccati方程式であることを発見した。さらにWKB周期の展開係数を求め, それがアフィンリー代数に付随するDrinfeld-Sokolov古典可積分階層の保存量と同一視されることを見出した。
また量子周期の厳密WKB解析の多自由度の量子力学系への応用は挑戦的な問題となる。本年度は水素型原子におけるStark効果と超対称量子力学の厳密WKB解析とODE/IM対応(TBA方程式)を用いて研究を開始した。水素原子のスペクトル問題におけるStark効果は、楕円座標を選ぶことにより2つの1次元のシュレーディンガー方程式の連立スペクトル問題として定式化されることが知られている。本研究ではLanger補正を加えた方程式系の厳密WKB解析により、高い精度でスペクトルが再現されることを確認した。さらに特別な場合ではTBA方程式との対応も確認された。超対称量子力学ではフェルミオン自由度を積分した有効ポテンシャルに基づき厳密WKB解析を行った。その結果、量子補正により補正前のTBA方程式がZ4対称性を持つ方程式に拡張されることを見出した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究は順調に進展しており、多自由度の量子力学系への応用など新しい方向性も見えてきた。この課題は当初予期していなかった進展である。また一般的した変形されたアフィン戸田方程式に付随する線形方程式系のWKB解析において、Riccati方程式の構造とゲージ変換が密接に対応していることも予期しなかった新しい発見であった。
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| Strategy for Future Research Activity |
一般的した変形されたアフィン戸田方程式に付随する線形方程式系のWKB解析から得られた量子周期と量子可積分模型との対応を確立する。さらにポテンシャルが縮退した場合のODE/IM対応を研究することで、ODE/IM対応のより詳細な構造を明らかにする。
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| Causes of Carryover |
当初参加を予定していた海外で開催される研究会に開催時期の都合により参加できなくなった。また参加した国際研究会において招待講演が多く、必要経費を最小限に抑えることができ、より有効な用途に使用が可能になったため。今年度は国際研究交流と計算機環境の充実を目標に使用していく。
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