2023 Fiscal Year Research-status Report
Refining the graph parameter hierarchy for fine-grained algorithms
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21K11752
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
大舘 陽太 名古屋大学, 情報学研究科, 准教授 (80610196)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | グラフ構造パラメータ / FPTアルゴリズム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
グラフ構造パラメータ階層の詳細化によるアルゴリズム設計と計算量解析を研究し，今年度は主に以下の成果を得た．
・本研究計画の主たるターゲットである頂点インテグリティに対して計算量を研究した．結果として様々なグラフ構造パラメータを基準として，頂点インテグリティ計算問題の計算量の境界を明らかにした．また，重み付きに一般化した頂点インテグリティについても研究し，入力における重みが2進表現の場合と１進表現の場合における計算量の変化を明らかにした．
・グラフアルゴリズムにおける基本的問題であるマイナー包含問題に対し，入力を木に限定したうえで，いくつかのグラフ構造パラメータを基準とした計算量二分法を示した．ここで扱ったパラメータは，直径，パス幅，および，パス離心率である．これまでに知られていた結果では，キャタピラーと呼ばれる構造であれば問題が容易になり，そこから大きく離れると問題が困難になるというものであった．今回の結果でこの条件の境界を明確にした．
・支配集合問題やそのいくつかの変種を一般化するグループ化支配集合問題を導入し，その計算量をグラフ構造パラメータを基準として研究した．まず，この問題が単項二階論理で記述可能であることを示し，既知のアルゴリズム的メタ定理により広範囲に適用可能なアルゴリズムの存在を示した．その後さらに，頂点被覆数と双子被覆数を限定した特殊ケースに対し，メタ定理を介さない実践的高速アルゴリズムを設計した．
・ネットワーク上の情報伝播をモデル化したグラフ焼却問題に対し，グラフのうまい向き付けを選ぶことで情報伝播をできる限り遅くする問題を研究した．まず，この問題が単項二階論理で記述可能ではないであろうことを示す困難性を示した．一方，頂点被覆数を基準とした場合に対しては，単項二階論理での記述が可能であることをグラフ構造の分析によって示し，効率的アルゴリズムの存在を証明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
様々な問題を対象として，種々のグラフ構造的パラメータを基準としたパラメータ化計算量を明らかにすることができた．特に，本課題の主な研究対象である頂点インテグリティに対して他の多くのパラメータを基準にした際のパラメータ化計算量を明らかにしたことで，頂点インテグリティのグラフ構造的パラメータとしての利用可能性を明確にすることができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
ここまでで明らかになってきたグラフパラメータ階層の応用範囲についてさらなる研究を進める．特に，頂点インテグリティに関する既存のアルゴリズム的メタ定理の適用範囲に収まらない種々の問題に対し，個別のアルゴリズム設計を行うことで，メタ定理のさらなる一般化のための知見を得ていく．また，組合せ遷移問題に関するアルゴリズム的メタ定理に関して，さらなる研究を進めていく．
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| Causes of Carryover |
研究計画は順調に進行したが，参加した国際学会 (WALCOM 2024) が国内開催だったため，予定より支出が少なくなった．
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