2021 Fiscal Year Research-status Report
On the Study of Symbolic-Numeric Computation Using Randomized and/or Approximation Algorithms
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21K11760
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
関川 浩 東京理科大学, 理学部第一部応用数学科, 教授 (00396178)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 数値数式融合計算 / 近似アルゴリズム / 乱択アルゴリズム / 多項式 / 方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
数値数式融合計算は信頼性の高い数式処理を基本とし、部分的に、柔軟で効率がよい数値計算を利用した、信頼性、柔軟性、効率性を合わせ持つ計算法である。その中でもとくに柔軟性を重視した、係数に誤差のある多項式などを対象とする計算法では、最近接問題という一種の最適化問題を解くことになるが、計算量が多いという問題点があった。これを解決するため、本研究は、数値数式融合計算アルゴリズムに乱択アルゴリズムや近似アルゴリズムを援用して計算量を削減し、効率性と柔軟性を持つ計算法を構築することを目的とする。研究は、実数体あるいは複素数体上の多項式などの連続的な問題と、有限体上の多項式などの離散的な問題に分けて扱う。
本研究の目的を達成するため設定した課題は以下の通りである。課題１は最近接問題に対する従来の数値数式融合計算アルゴリズムの構築とその解析、課題２は乱択アルゴリズムや近似アルゴリズムを用いた数値数式融合計算アルゴリズムの構築とその解析、課題３は最近接問題の解についての理論的な解析である。
本年度に得た主な成果は以下の通りである。課題１については、メビウス変換の凸結合について、係数に誤差があるため凸結合ではなくなった場合の最近接問題について数値数式融合計算のアルゴリズムを構築したこと、課題２については、多項式の合成に関する最近接問題で連続的な場合と離散的な場合に共通な近似アルゴリズムを構築したことである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の研究計画は以下の通りであった。（１）連続的な場合は非線形代数方程式について課題２、３を扱う。（２）離散的な場合についても代数方程式に関わる問題について課題１から始める。
本年度に得た主な成果は以下の通りである。
（１）については、非線形代数方程式の代わりに、メビウス変換の凸結合について、係数に誤差があるため凸結合ではなくなった場合の最近接問題に対し数値数式融合計算のアルゴリズムを構築した（課題１に相当）。
（２）についても、当初予定の代数方程式とは異なり、多項式の合成に関する最近接問題を考察した。この問題については、最初、離散の場合を扱ったが、結局、離散と連続に共通な近似アルゴリズムを構築した（課題２に相当）。
以上の通り、（１）、（２）とも当初予定とは異なる問題を扱ったが、質、量とも予定していたものとほぼ同等の成果を挙げたといえる。したがって、おおむね順調に進展していると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず、2021年度に研究を行った項目のうち、多項式の合成に関する問題では、引き続き、結果の拡張を目指す（課題２、３）。この問題については、多項式の値を複数点で効率よく評価することへの応用もあり、これについても研究を行う。
また、2021年度に予備的な研究を開始した幾何学の問題、具体的にはボロノイ図に関する近似アルゴリズムについて成果が見込まれる状況になったので、こちらの研究も継続する（課題２）。
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| Causes of Carryover |
2022年3月に金沢で開催された研究会Risa/Asir Conference 2022に、当初、現地へ行き対面での発表を予定していたが、新型コロナウイルスの感染状況を見てオンラインでの参加に変更し旅費がゼロとなったこと、研究初年度で予算の合算使用ができないため、若干余裕を見て旅費用の予算を残していたことの二点が、次年度使用額94,450円が生じた理由である。
次年度使用分は、成果の発表、研究者との議論、情報収集などのため、国内で開催される学会、研究会に参加するための旅費や会議参加費の一部として使用する。
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