2021 Fiscal Year Research-status Report

Explicit dual formulations of continuous optimization problems and their applications

Research Project

Project/Area Number	21K11769
Research Institution	Kyoto University
Principal Investigator	山下信雄京都大学, 情報学研究科, 教授 (30293898)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	山川雄也京都大学, 情報学研究科, 助教 (00837354)
Project Period (FY)	2021-04-01 – 2025-03-31
Keywords	双対問題 / 非線形半正定値計画
Outline of Annual Research Achievements	大規模かつ複雑なシステムの連続最適化モデルに関する研究が盛んに行われているが，そのようなモデルを社会実装するためにはいくつかの壁が存在する．本研究では，連続最適化の陽にかける双対問題を利用して，実用化の障壁となる「モデル化の壁」と「アルゴリズムの実装の壁」を解決することを考える．本年度の目的は，機械学習などに現れる不確実なデータを含む最適化問題と，その拡張である多目的最適化，均衡問題を調査し，その双対問題が陽にかけるかどうかの吟味を行うことである．さらに制約想定を満たさない最適化モデルに対する双対問題の性質を考察する．その目的に対して以下の成果を得た．・パラメータに不確実性を有した均衡問題の均衡解の性質を解明することは重要である．本研究では，不確実性を有する均衡問題に対して，最小二乗法の一般化である期待残差最小化を考え，その分布的ロバスト最適化モデルを考案した．さらに，双対性を利用して，有限な非線形半正定値計画問題として定式化できることを示し，その問題の性質を調べた．特に，適当な条件のもとで，その分布的ロバスト最適化モデルが凸最適化問題となることを示した．・非線形半正定値計画問題において，制約想定が満たさないときに数列を用いた最適性の条件を与えた．これは双対問題における双対変数が発散するような条件であり，既存の最適性の条件では考慮できなかったものである．さらに双対変数が発散した場合でも，主変数が収束するようなアルゴリズムを与えた．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 機械学習などに現れる不確実性を含む大規模かつ複雑なシステムの連続最適化モデルに関する研究が盛んに行われている．連続最適化の技術を社会実装するためにはいくつかの壁が存在する．本研究では，連続最適化の双対性を利用して，実用化の障壁となる「モデル化の壁」と「アルゴリズムの実装の壁」を解決することを考える．本年度は，データに不確実性を含む均衡問題に対して分布的ロバスト最適解を与えるモデルとその解法を与えた．さらに制約想定を満たさない非線形半正定値計画に対して，新しいタイプの制約想定とそれを利用した解法の開発を行った．また，フェンシェル双対において必要となる共役関数の調査及びリスト化を実施した．しかしながら，ゲージ双対問題に必要となる極関数の調査は未実施である．なお，双対問題を利用した均衡問題の新しいモデル化およびその解法の開発は，次年度以降の実施を計画していた応用研究である．これらのことから，本研究はおおむね順調に進展していると考えている．
Strategy for Future Research Activity	本研究初年度の研究は順調に進展しており，2022年度以降も当初の計画どおりに研究をすすめる． 2022年度末には本研究に携わる博士課程の学生が卒業する．その後任となるような博士課程の学生が配属されるかどうかはわからない．本研究に携わる人員が少ないときには，理論研究は引き続き研究計画通りにすすめ，プログラミング等を必要とする応用研究は絞りこむこととする．
Causes of Carryover	コロナ禍の影響で参加を予定していた国際会議がオンライン開催となった．また，購入を予定していた通信用のモバイルルータに関しては，大学の運営費によって賄われた．次年度以降の配当額は当初の計画案よりも減額されていた．そこで，次年度使用額を用いて，国際会議出張費にあてるなどして，当初の計画案にあった情報収集および広報をおこなう．