2023 Fiscal Year Annual Research Report
The computation of the stationary distribution in random-walk-type Markov chains: via unraveling the trinity of stability
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21K11770
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
増山 博之 東京都立大学, 経営学研究科, 教授 (60378833)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ランダム・ウォーク型マルコフ連鎖 / 定常分布 / 安定性 / 上部ヘッセンベルグ型マルコフ連鎖 / GI/G/1型マルコフ連鎖 / M/G/1型マルコフ連鎖 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究期間全体を通じて、ランダム・ウォーク型マルコフ連鎖における「安定性のトリニティ」、すなわち、安定性に関わる3つの要素「増分平衡分布の裾減衰率」「エルゴード収束率」「定常分布の裾減衰率」の関係性に注目しつつ、代表的なランダム・ウォーク型マルコフ連鎖であるM/G/1型マルコフ連鎖、GI/G/1型マルコフ連鎖、Upper Block-Hessenberg型マルコフ連鎖を主たる対象として、「最終列増大切断近似」および「レベル増分切断近似」に関する収束公式の導出、ならびに、準アルゴリズム的解構築法（有限手続きの反復により厳密解に収束する近似解列を構築する方法）の確立などを目指して研究に取り組んだ。最終年度の研究成果は以下のとおりである。まず、M/G/1型マルコフ連鎖に対する最終列増大切断近似の幾何収束公式の導出に着手した。その結果、定常分布の裾減衰率と最終列増大切断近似の幾何的収束率との間には密接な関係があることがわかった。しかし残念ながら、ある行列の正則性を示すことができず、目標とする幾何収束公式を導くことはできなかった。次に、一般的な可算状態マルコフ連鎖の近似列の収束性解析を行い、近似定常分布列が真の定常分布に収束するための既知の十分条件を緩和できるとわかった。今後の課題は、緩和された十分条件の有用性を示すことである。さらに、M/G/1型マルコフ連鎖に対するレベル増分切断近似の誤差の全変動ノルムに関する幾何収束公式と計算可能な誤差上界を導いた。導いた幾何収束公式と誤差上界がゼロに収束する速度は、M/G/1型マルコフ連鎖のレベル増分分布の裾減衰率と関連があることが確認できた。最後に、劣幾何エルゴード的なGI/G/1型マルコフ連鎖の「安定性のトリニティ」に関する定理の応用例について検討を行った。
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