層的バナッハ代数を用いたサイクルによる特異ホモロジー論

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K13763
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 三原 朋樹 筑波大学, 数理物質系, 助教 (90827106)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: p進幾何 / p進ガロア表現 / Tate acyclicity

Outline of Annual Research Achievements

p可除群にノルムを与え適切な条件を課した概念を定式化し、その群環の完備化がsheafyであることを証明した。こうして得られるBanach代数は従来のリジッド幾何で扱われる完備付値体上有限生成なものではなく、またperfectoid体へ係数拡大することでperfectoid代数にはなるもののそれ自体は必ずしもperfectoidとは限らないものであるため、sheafyなBanach代数としては新しい構成である。この構成は本研究の大本のアイデアにある修士論文のBanach代数の亜種であり、そちらと同様にp進周期環の構成で用いられる環Rの乗法的モノイドのグロタンディーク群と非常に密接な関係を持つ。

そしてこのBanach代数はZ[p^{-1}係数アフィン空間内の多面体（特に標準単体）ごとに自然に構成することが可能であるため余単体的対象を定めることが可能であるため、やはり当初の目論見通り特異ホモロジーの解析化の１つを与える。重要なことは、標準単体とは限らない多面体にも定義されていることで、それによりrational domainの対応物の計算（具体的表示）が現実的に可能になっている。

また今回は大本の修士論文の研究と異なりsheafyなBanach代数に付随する解析空間に値を持つ余単体的対象を用いているため貼り合わせの議論が飛躍的に改善され、特異サイクルの構成が現実的に行いやすくなっている。具体的には余単体的対象からの射を構成するには、空間をアフィノイドに分解しそこへの射の貼り合わせとして構成すれば十分となる。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

p可除群にノルムを与え群環を構成するアイデアは素朴ながらもうまくいき、一番の懸念事項であったsheafy性が成り立ったことが大きい。そのrational domainの計算にはヴァンデルモンド行列をうまく取り逆行列のp進ノルムの評価を精密に行わないといけなかったため時間がかかったが、一般にBanach代数のsheafy性を証明することは極めて難しいためにここで時間が掛かることは予定通りである。

Strategy for Future Research Activity

解析的特異ホモロジーの性質を更に深く調べ、特にドラムコホモロジーとのペアリングが修士論文の時の定式化と同様にうまく機能することを確認したい。それができれば、当時と違ってsheafyであるという点を十分に活かしつつ積分論を展開することが可能である。逆にそれができなければ、p進ガロア表現の計算に積分論を使えなくなってしまうため、上述した完備群環の定式化に微調整が必要である。

１つの困難は、余単体的対象における微分形式の定式化方法をうまく選ぶことと、積分の定義をうまく選択すること（実用上はそれがストークスの定理を満たすことが望ましいので、ただ定義するだけでなくかなり重い組合せ論的計算をp進周期環の中で行っていくこと）である。従ってここに割く時間の割合を多めに取って十分に計算を進めていく必要がある。

微分形式の定式化の候補として、単純に自由加群として構成するのが簡単である。しかしそうすると従来のリジッド幾何の微分形式と整合性を失うため、関手性を用いた議論に困難が生じる可能性がある。この困難を解消する方法が存在するか否かを考察し、それが難しい場合は従来のリジッド幾何における定式化に近い方法を模索する。完全に同じものである場合、perfectoid代数に近い代数の微分形式の加群がナイーブには消滅してしまいやすいことに注意する必要がある。