層的バナッハ代数を用いたサイクルによる特異ホモロジー論

2023 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 21K13763
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 三原 朋樹 筑波大学, 数理物質系, 助教 (90827106)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: リジッド幾何 / p進解析 / ガロア表現 / 積分

Outline of Annual Research Achievements

p進的な可除性を課したノルム付きの群を用いて、適切な完備群環を用いることでパーフェクトイド代数を構成した。そのようなノルム付き群はパーフェクトイド体と多面体を用いて具体的に構成することが可能で、これにより特に標準単体に付随するパーフェクトイド代数が関手的に構成できた。
従ってアディック空間の余単体的対象が得られたことになり、圏の一般論からアディック空間に対して特異ホモロジーが定義できた。これは修士論文で研究していた解析的特異ホモロジーのパーフェクトイド類似である。パーフェクトイド代数として実現したおかげでsheafy性が保証される点や、Weierstrass局所化の記述が容易になった点が、先行研究と比較して特筆すべき相違点である。また先行研究と同様、特異ホモロジーにガロア表現の構造が付与される。
更にガロア表現の非自明性を判定するための道具立てとして特異ホモロジーに沿った積分論を展開しているが、申請当初の期待では過収束性をサイクルか微分形式に課すことで可積分性が担保されると推測していたところ残念ながら反例が存在してしまった。そこで可積分性を追加の条件として課すように理論に修正を加えた。反例を見つけるまでは証明するための様々な補題の証明に時間を割いてしまったが、結果的にそれらが可積分性の判定に役立てられる可能性があるためそれらの応用も期待している。
そのような軌道修正があったため執筆に遅れが生じ、現在もまだ執筆中である。修正に伴いページ数が多くなることが見込まれるため執筆には時間がかかると推測するが、執筆終了後速やかに投稿する予定である。