2022 Fiscal Year Research-status Report
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21K13767
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| Research Institution | National Institute of Technology(KOSEN), Oshima College |
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Principal Investigator |
磯部 遼太郎 大島商船高等専門学校, 一般科目, 助教 (50897882)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 可換環 / Strict closure / Arf環 / 優秀環 / weakly Arf環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，一般次元における環のstrict closureの有限生成性に関する成果を挙げた。
前年度までの研究により，環の次元が１の場合には，strict closureの有限生成性は基礎環の完備化の冪零根基が２乗で消えることで特徴付けられることが判明していた。一般次元の場合には，strict closureが有限生成であるときは基礎環の冪零根基が２乗で消えることがわかっていたが，本年度の研究でその逆が部分的に成り立つことが判明した。この結果より，特に基礎環が優秀環であるときには，基礎環の冪零根基の条件でstrict closureの有限生成性を特徴付けることができる。これは，よく知られている整閉包の有限生成性の特徴付けと並行する主張となっており，一般次元においてもstrict closureが整閉包に準ずる良い構造をもった拡大環であることを示している。今後の研究では，超曲面環や正標数の環といったより具体的な環構造について，有限生成であるstrict closureを計算し，その構造を調べる予定である。また，基礎環が１次元Cohen-Macaulay局所環でstrict closureが有限生成である場合，神代真也氏との共同研究によりstrict closure上の正の階数を持つreflexive加群は全て決定することができている。一般次元の場合についても同様の構造がないか考察する。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新型コロナウイルス感染拡大の影響により，当初予定していた国内外の出張・研究打ち合わせは大きく数を減らすこととなったが，オンラインでの打ち合わせを頻繁に行い，その結果順調な成果を挙げることができている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究では，以下の課題①，②に取り組む。
①超曲面環や正標数の環といったより具体的な環構造について，有限生成であるstrict closureを計算し，その環構造や加群の構造をこれまでの研究を元に決定する。
②研究結果を精査し，整閉包の理論と並行したstrict closureの理論を完成させる。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染拡大の影響と家族の健康上の都合により出張の回数が当初の予定より大きく減ったため，次年度使用額が生じた。次年度では，当初の予定に加え，今年度行えなかった共同研究者との研究打ち合わせを追加で行うことでこの予算を使用する予定である。
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