2021 Fiscal Year Research-status Report
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21K13768
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
長岡 大 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 学術研究員 (90899288)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 代数幾何学 / log del Pezzo曲面 / 持ち上げ可能性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度はlog del Pezzo曲面の幾何を中心に調べた。
本研究の主対象である滑らかなコンパクト化を調べる際に極小モデル理論を用いるため、その出力である特異点付きコンパクト化についても考察する必要がある。コンパクト化の研究では境界因子の幾何や位相的性質を精密に用いる必要があるため、本年度は特異点付きコンパクト化の境界因子としてしばしば現れる、log del Pezzo曲面を研究した。複素数体上ではKeel-McKernanにより、Sarkisov linkの亜種を用いたlog del Pezzo曲面の大まかな分類が、有限族を除いてなされている。近年この分類は、定義体が標数２、３ではない代数閉体上の場合に、また有限族を除く必要がないように、Laciniによって拡張された。しかしSarkisov linkの出力が対数的標準因子がanti-nefであるalmost log canonical pairという広いクラスに属することしかわからず、この拡張を用いてlog del Pezzo曲面の精密な分類を行うことは困難であった。
そこで本年度は、Sarkisov linkの出力がklt pairまたはGorenstein del Pezzo曲面と反標準因子の対に収まるように、Laciniによる拡張を改良した。またこの結果を用いて、標数5の代数閉体上のlog del Pezzo曲面のうち、Witt環上に対数的持ち上げ不可能であるものの双正則同系類を分類し、川又-Viehweg消滅定理やBogomolov不等式の不成立という他の正標数特有な現象との関連性を明らかにした。
これらの結果はpreprintとして公開した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題を考える上で重要なコンパクト化の境界因子の理解が深まった。
また副産物としてlog del Pezzo曲面の標数5特有な現象が明らかになったことも、魅力的な結果である。
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| Strategy for Future Research Activity |
Picard数1のQ-Fano 3-foldによる3次元アフィンホモロジー胞体のコンパクト化は境界因子として必ずlog del Pezzo曲面を持つので、今回の結果を用いて、上記のコンパクト化の分類に取り組む。
また、森ファイバー空間によるコンパクト化についても考察を進める。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍の影響で、想定していたよりも成果発表のための出張や研究セミナーの企画ができず、旅費や人件費を執行できなかった。
翌年度は、コロナ禍の収束の折を見て、成果発表のための出張や研究セミナーの企画を行なう予定である。
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