2021 Fiscal Year Research-status Report
正標数代数多様体の射影構造に関する新たな幾何学への展開
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21K13770
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
若林 泰央 東京工業大学, 理学院, 助教 (80765397)
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2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | Frobenius-Ehresmann構造 / 正標数の代数多様体 / Cartan幾何学 / 接続 / 固有束 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度において中心的に取り組んでいたことは，正標数代数多様体上で定義されるEhresmann構造（いわゆる(G, X)構造）やCartan幾何学の基礎理論の構築である．先行研究で扱ってきた正標数代数曲線上の休眠固有束やFrobenius射影構造を高次元化する形で定式化した「Ehresmann構造の正標数版」をFrobenius-Ehresmann構造と名付け，それらに関する様々な事実を示し，Cartan幾何学との繋がりを明らかにした．とくに，Frobenius-Ehresmann構造の変形理論が（関連する複体の）コホモロジーを用いてどのように記述されうるかを詳細に調べた．その帰結として，クリスタルの変形という観点でEhresmann-Weil-Thurston原理の正標数版類似を定式化し，証明した．これらの結果は，論文"Frobenius-Ehresmann structures and Cartan geometries in positive characteristic"（https://arxiv.org/pdf/2109.02826.pdf）にまとめた．
また別方向の研究として，階数2の安定ベクトル束を分類するモジュライ空間において定まるVerschiebung写像の生成的次数の明示的評価を与えた．これは休眠固有束の明示的数え上げ公式を示す際に適用されたQuot schemeとの対応やGromov-Witten不変量の計算と同様の議論を用いて得られたものである．この結果は論文"An upper bound on the generic degree of the generalized Verschiebung for rank two stable bundles"（https://arxiv.org/pdf/2201.11262.pdf）にまとめた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の土台となる「正標数代数多様体上のEhresmann構造（Frobenius-Ehresmann構造）やCartan幾何学の理論」の基礎的な部分を当該年度中に構築し，論文としてまとめることができたことについては，順調に進展していると言って良い状況である．とくに，Frobenius-Ehresmann構造の変形理論の帰結として，Ehresmann-Weil-Thurston原理の正標数版を（定式化も含めて）得ることは研究開始時は想定しておらず，その点において当初の計画以上に進展したと評価することができる．また，別方向の研究として示された「Verschiebung写像の生成的次数の明示的評価」についても，関連する対象に対する研究の方向性を新しく開拓するものであり，有意義な洞察をもたらすものであると確信している．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後しばらくは下部多様体が1次元，すなわち代数曲線の場合に状況を限定し，（高レベルの）射影構造や休眠固有束，そしてその一般化であるdormant PGL(n)-operについて研究を行う．直近の課題として次の二つの事実(i)-(ii)を示し，論文にまとめる予定である：(i) 高階数のdormant PGL(n)-operにおける双対性; (ii) （点付き）射影直線上の休眠固有束と高分岐指数を持つ射影直線上の被覆との対応（Osserman氏の結果の一般化）．また，その後の研究として，標数が素数pのべきとなる代数曲線上定義された（局所的に自明となる）固有束とその法p還元として得られる代数曲線上定義された高レベル休眠固有束との関係について調べる予定である．それらの間の幾何的な対応を（一般的な代数曲線に対して）構成するためには，代数曲線が退化した状況における高レベル固有束やそのモジュライ空間の振る舞いを詳細に調べる必要がある．この対応は標数が素数pのべきとなる代数曲線上の固有束（あるいはより一般のdormant oper）や微分方程式に関する数え上げ幾何学を展開する際の重要なアプローチとなることが期待される．このような出来事を実現することを目的として，Montagnonにより導入された高レベルの対数的微分作用素やそれらを用いて定義される主束上の接続についての理解を今後深めていく予定である．
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| Causes of Carryover |
物品費について（数十円規模の）細かい調整などをしなかったため，わずかに次年度使用額が生じたが，ほとんど計画通りに使用した．当該助成金は，来年度の物品費（数学系専門書籍の購入）の一部として使用する予定である．
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