2023 Fiscal Year Research-status Report
正標数代数多様体の射影構造に関する新たな幾何学への展開
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21K13770
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
若林 泰央 大阪大学, 大学院情報科学研究科, 准教授 (80765397)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | oper / Eichler-Shimura同型 / G-operator / middle convolution / ホロノミックD加群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度に行った研究を以下の2点にまとめて述べる．
まず，Riemann面上のG-operに関する研究を行った．先行研究において実モノドロミーをもつPSL(2)-operのモジュライ空間が離散的であることがG. Faltingsによって示されている．この事実を拡張するかたちで，実モノドロミーをもつG-oper（Gはより一般の半単純代数群）のモジュライ空間の然るべき部分空間が離散的であることを示した．その応用として，実モノドロミーをもつPSL(2)-operに対するEichler-Shimura同型を構成した．これらの成果は論文"Opers with real monodromy and Eichler-Shimura isomorphism" (arXiv:2309.12203)にまとめられた．また，Eichler-Shimura同型の正標数類似をdormant G-operに対して構成し，この結果は"Infinitesimal deformations of opers in positive characteristic and the de Rham cohomology of symmetric products" (arXiv:2309.11750)にまとめられている．
次に，数体上の代数多様体で定義される接続に対して定まるG-operatorと呼ばれる概念をホロノミックD加群（の複体）へと拡張し，G-operatorを関手的に取り扱うための枠組みを構築した．その結果，Andre-Baldassarriによる予想を（種数0の曲線上の）リジッドな接続に対する再証明を与えた．当結果は"Holonomic D-modules of arithmetic type and middle convolution" (arXiv:2309.12199)にまとめられている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当該研究課題の開始当初は予期していなかった研究内容の広がりを実現することができた．たとえばEichler-Shimura同型の拡張などがその一例であり，この結果は，（モジュラー形式に関する理論を拡張するかたちで）実モノドロミーをもつPSL(2)-operの理論を発展させるきっかけとなり得るものである．また，p進Teichmuller理論において中心的な対象である「通常冪零固有束」の正準的p進持ち上げに対するEichler-Shimura同型を構成することは，そのような固有速の構造を理解し，古典的な（つまり，Riemann面に対する）Teichmuller理論のp進類似を実現させるために重要であると思われるが，その構成のための大変重要な観察をすることができた．また，G-operatorに関する研究についても，線形微分方程式や接続において期待されている数論的な予想（Grothendieck-Katz予想やAndre-Baldassarri予想など）への新しいアプローチを開拓する上で大変有意義な成果を得ることができた．リジッドでない場合などのより一般的な状況が，middle convolutionを適用することによってどのように理解され得るのかといった新しい方向性を持つ研究課題が生まれたことも，言及すべき進展と言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は，当該研究課題の実施中に得た成果である"Canonical diagonal liftings I: Dormant PGL(n)-opers on algebraic curves" (arXiv:2209.08528)の続きとなる研究に取り組む予定である．この研究では，高レベルのPGL(2)-operの数え上げ不変量が2次元位相的量子場の理論をなすことを示し，それに基づいて（有理凸多面体の格子点などに関連する）組み合わせ論との繋がりを具体的に構成する．その結果の応用として，下部代数曲線の種数が2の場合において，高レベルのPGL(2)-operの個数を数え上げる明示公式を証明する．
また，当該年度の研究成果として証明した「実モノドロミーをもつPSL(2)-operに対するEichler-Shimura同型」を基点として，モジュラー形式の理論がどのように拡張され得るのかを考察したい．とくに，（「G-operatorである」などの）数論的性質を有するoperの分布問題などへ応用させることにも取り組みたいと考えている．
さらに，楕円曲線上のMiura operやAbel多様体上のアフィン構造に対する「p進正準持ち上げの理論」はある程度適切に展開できることが今までの申請者による先行研究の中で観察されている．この研究に関してもさらに掘り下げて考察する必要があると認識している．
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| Causes of Carryover |
当該年度より以前に計画していた（研究集会への参加を目的とした）海外渡航などがコロナ禍を理由にオンライン開催へ変更され，当時使用予定だった旅費の分が残っていることが理由として挙げられる．また，研究集会などの機会で生まれた研究者間の情報共有や意見交換の結果を大変有意義なかたちで研究に生かすことが出来たため，研究成果を得るために必要と思われていた書籍の購入が見送られたこともその理由である．しかし，想定したよりも早く研究成果を上げることが出来ているため，（当初から予定している使用計画のほかに）当該助成金を旅費として使用し，よりいっそう研究集会などで積極的に講演し，研究成果を広めることに尽力する予定である．
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