2023 Fiscal Year Research-status Report
Geometrical and arithmetic study of invariants appearing exponential sums of representations
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21K13773
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
石塚 裕大 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 特任助教 (50761136)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 二元四次形式 / 指数和 / 数論統計 / ウェアリング分解 / 数論的不変式論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
二元四次形式の空間における特異指数和の決定と応用について、共同研究者との検討を重ね、論文をほぼ完成させた（2024/4/2に完成し、4/22 現在投稿中）。これにより判別式が平方自由で、たかだか4つの素因子をもつような、有理数体上の楕円曲線の2-セルマー群の元を数え上げ、高さを抑えた範囲で楕円曲線を動かしたときの、個数の総和の下からの新しい評価を与えることに成功した。こうした楕円曲線が無限にあることすら非自明な結果と思われる。
具体的に行った検討として、 Frank Thorne 氏（サウスカロライナ大学）を九州大学に招聘して、議論の細部を検討し、代数的な部分についての精度を向上させた。加えて解析数論の技術を用いる部分についても、Thorne 氏や谷口隆氏（神戸大学）とも細かい点についての検討を行った。当該結果を集会・セミナーで発表し、集会については報告書を提出している。
二元五次形式の指数和についても、昨年度とは異なる古典的な不変式論に近いアプローチによって、ウェアリング分解が非退化かつ分裂する場合について部分的な進展を得た。一方で二元形式の指数和の幾何分解に現れる組み合わせ的構造について、その項についての増大度を調べ、分解に現れる項が組み合わせ的な構造と比較して非常に少ないことを確認した。次年度も引き続き研究を行う予定である。
他の共同研究としては、伊藤哲史氏（京都大学）、大下達也氏（群馬大学）、谷口隆氏、内田幸寛氏（東京都立大学）との共同研究において、可積分系を背景に持つ整数列の素数で割ったあまりについての結果を公開した。同時に、昨年度に進展させた二元四次形式の部分族についての金村氏との共同研究も論文を完成させ、アクセプトを受けている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
課題であった二元四次形式の結果を完成させることができ、二元形式についても一定の成果が見られたから。
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| Strategy for Future Research Activity |
二元形式の指数和に現れる組み合わせ構造について、計算機科学に現れる構造や代数的組合せ論で用いられる概念に基づいた整理を行う。二元形式の指数和の幾何分解と二元五次形式についての結果をまとめて論文として発表する。
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| Causes of Carryover |
研究者招聘や海外出張をすることができたものの、前年度未使用額が多く残っていたため。引き続き国内外へ出張をおこない、研究成果の発表、ならびに有益な情報収集のために利用する。
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