多元環の箙構造とホッホシルトホモロジー次元

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K13776
• Research Institution: Takasaki City University of Economics
• Principal Investigator: 板垣 智洋 高崎経済大学, 経済学部, 准教授 (80756487)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: ホッホシルトホモロジー / ホッホシルトホモロジー次元

Outline of Annual Research Achievements

一般に、有限次元多元環について大域次元が有限であればその高次のホッホシルトコホモロジーは消滅する。その逆は成り立つかというHappel問題が提起され否定的に解決された。その後、Hanの予想とよばれるHappel問題のホモロジー版が提起され、いくつかの多元環のクラスに対しては肯定的に解決されたが完全には解決されていない。
本研究では、多元環のホッホシルトホモロジー次元の有限性と多元環の箙の構造と関係性を明らかにすることを目的としており、特に自己入射的多元環のホッホシルトホモロジー次元の有限性やquiverの特徴との関係性を明らかにすることを目標としている。自己入射的多元環のクラスとしてはホッホシルト拡大環があり、自明拡大環を含んでいる。ホッホシルト拡大の同値類全体と2次のコホモロジーの間に一対一対応があり、2-cocycleによってホッホシルト拡大環が定まる。
今年度はホッホシルト拡大環とホッホシルトホモロジー次元に関して以下の２つを行った。
(1) Truncated quiver algebraのホッホシルト拡大環について、2-cocycleに関する特定の条件の下でホッホシルトホモロジー次元が無限大であることを確認した。具体的には、長さm以上の道を0とするtruncated quiver algebraの2次のコホモロジーは係数体上の次数付き加群となり、次数が2m-1と2m-2以下の元に対応する2-cocycleたちについて、そのホッホシルト拡大環のホッホシルトホモロジー次元が無限大であることを確認した。
(2) 鯉江秀行氏（神戸市立工業専門学校）との共同研究によりquadratic monomial algebraのホッホシルト拡大環のquiverについて調査した。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

Truncated quiver algebraのホッホシルト拡大環の広いクラスでホッホシルトホモロジー次元についてが無限大であることを示すことができ、概ね計画通りに進んでいると思われるから。

Strategy for Future Research Activity

Truncated quiver algebraのホッホシルト拡大環の一部分についてはホッホシルトホモロジー次元が無限大であるかどうか示せていないので、まずは条件を強くして狭いクラスで研究を進めていきたい。

Causes of Carryover

コロナの影響により国際研究集会への参加を見送ったため。来年度は物品および国際研究集会参加のための旅費等に使用する予定である。