2022 Fiscal Year Research-status Report
A new approach to research on the Shi arrangements
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21K13777
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| Research Institution | Ikueikan University |
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Principal Investigator |
陶山 大輔 育英館大学, 情報メディア学部, 准教授 (20746755)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 超平面配置 / 自由超平面配置 / Shi配置 / Ish配置 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
超平面配置に付随する対数的ベクトル場，すなわち，全ての超平面に沿うような多項式ベクトル場がなす加群が自由加群であるとき，超平面配置は自由配置であるといわれる．自由配置は，その超平面配置に含まれる超平面の共通部分によってつくられる交叉半順序集合の特性多項式や，超平面配置を複素化したときの補集合のポアンカレ多項式が整数係数上で1次式に分解するなどの著しい性質を持つ．Shi配置はA型アフィン・ワイル群の元のある種の同値類の集合とShi配置の部屋が一対一に対応する，というJ.-Y.Shi氏の研究の中で，元々A型のルート系に対してのみ導入されたものである．Shi配置はWeyl配置の各鏡映面に平行な超平面を付け加えたという単純な対象であり，その自由性が，Edelman-Reiner予想の解決という形で示されているが，Weyl配置の自由性が基本不変式を用いて具体的に基底を記述することによって示されたのに対して，Shi配置の自由性はG. M. Ziegler氏による重複度付き超平面配置の理論や，代数幾何的な手法を用いて基底を構成することなく示された．その後，寺尾宏明氏，R. Gao氏, D. Pei氏, 申請者によってA型，B型，C型，D型のルート系に対するShi配置の基底構成がなされたが，それらはルート系の型に依存しており，全ての型を尽くしてはおらず，また得られた基底の形も非常に複雑なものであった．今年度は前年度に得られた結果である，離散積分を用いたA型Shi配置の基底表示をB型などの他のルート系に対しても得られないか，という方針で研究を進めたがめぼしい成果が得られず難航している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初の計画で予定していた，これまで研究されていたA型のルート系に対するShi配置とIsh配置の自由性や組み合わせ論的性質における類似性を，他のルート系に対しても適用できないかという方針から，昨年度得られた結果の延長としてShi配置の基底構成を得られないかという方針に方向性を変え研究を進めたが、めぼしい成果は得られなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
最終年度もA型の離散基底を拡張する方針で研究を進めていきたいと考えている。
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| Causes of Carryover |
予定していた研究打ち合わせ等をオンラインで行ったため予定額との差額が生じた．差額分については翌年度に予定していた研究打ち合わせの回数を増やし，その費用に使用する．
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