2021 Fiscal Year Research-status Report
Research on arithmetic phenomena via generalized theory of motives
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21K13783
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| Research Institution | NTT Communication Science Laboratories |
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Principal Investigator |
宮崎 弘安 日本電信電話株式会社NTTコミュニケーション科学基礎研究所, 基礎数学研究P, 研究主任 (50799765)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | モジュラス付きモチーフ理論 / モチーフ / モジュラス / ホモトピー不変性 / 代数的サイクル / 代数的K理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、モジュラス付きモチーフ理論の基盤整備と、新たな展開に向けた下準備の２点に注力して研究を行なった。
これまでのBruno Kahn氏、齋藤秀司氏、山崎隆雄氏との共同研究においては、一般化モチーフ理論を（当初のモチーフ理論と同様に）底が「体のスペクトラム」である場合に限って構成している。現在のモチーフ理論が任意の底の場合に拡張されていることを鑑みれば、一般化モチーフ理論についても同様の拡張が可能であると期待される。そこで今年度は、底が任意の場合のモジュラス付きモチーフ理論について研究し、それが実際に構成可能であることを確認した（Shane Kelly氏との共同研究）。当該の結果は既にプレプリントとしてArXivに公開済みである。当プレプリントにおいては、体上の理論の単なる拡張にとどまらず、代数多様体上の様々な位相をモジュラス付きに拡張して、それらの「点」を特徴づけることにも成功した。さらに代数多様体とカルティエ因子のペアの圏において一般にファイバー積が存在することも示した。これは底に関する引き戻し関手が存在することを保証するために不可欠な結果である。
また、一般化モチーフ理論の応用に関する研究を進める中で、一般化モチーフ理論を（上記の底の一般化とは異なる複数の方向に）拡張することにより、応用上の困難が解消されることがわかった。現在、これらの一般化について国内外の研究者と協力してプレプリントをまとめているところである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は、体上のモジュラス付きモチーフ理論を任意の底に拡張する研究を行いプレプリントを公開することができた。また、モジュラス付きモチーフ理論のさらなる拡張の可能性について複数のプロジェクトを開始し、それぞれプレプリントの公開に向けた準備を進めている。上記のように、研究はおおむね順調に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
上述のモジュラス付きモチーフ理論のさらなる一般化に関する複数のプロジェクトを引き続き推進する。これらはモジュラス付きモチーフ理論に柔軟性を与えることにより応用範囲を広げることを目的とした（異なる方向性の）プロジェクトである。理論の拡張を進めると同時に、実際にそれを用いた具体的な応用についても研究する。
新型コロナウィルス感染症の影響により出張が困難である時期が続いたため、研究に必要な議論はもっぱらオンラインで実施している。オンラインで議論が効率化される部分もあるが、対面での集中的な議論の機会を欠いていることで、研究の難所の突破に時間がかかることが多い。出張が可能な状況となれば積極的に対面議論の機会を確保するために助成金を活用する。引き続きオンラインがメインとなる確度が高い状況では、オンラインでも円滑に集中的な議論を行うための環境整備に助成金を活用する。
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| Causes of Carryover |
前年度同様、新型コロナウィルス感染症の影響で研究集会や研究打ち合わせのための出張が行えなくなったことにより、次年度使用額が生じた。本助成金の主たる使途は、対面の研究機会を確保するための旅費であったが、感染症の状況がなかなか改善せず、出張を実施できなかったことは残念である。次年度は、状況が許せば、対面議論の機会を増やすために研究費を活用する。出張が難しくオンラインでの議論が中心となる場合には、研究を円滑に遂行するための環境整備に助成金を活用する。
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Research Products
(3 results)
