symplectic field theory の応用

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K13789
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 石川 卓 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (70845742)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Keywords: symplectic field theory / contact homology

Outline of Annual Research Achievements

本研究の最終的な目標は、symplectic field theoy や contact homology を具体的な contact 多様体に対して計算、評価する方法を手に入れることと、それを用いた応用の構築である。当該年度でも、引き続き、最も単純な contact 多様体の一つである球面の contact homology についてより詳細な計算を行った。標準的な球面の contact homology 自体は計算されており、contact 構造が同じならば contact form を変えても contact homology 自体は同型ではある。例えば標準的な contact form を ellipsoid に入れたもののも球面と contact 構造は同型だが、この場合には、ellipsoid の各周期解をそのまま contact homology の生成元として表示することができる。ellpipsoid の成分ごとの半径を変えればその新しい周期解たちにより球面の contact homology を表示できるが、ellipsoid の半径が異なれば、この表示が同じになるとは限らない。この表示の下で同型がどのように表示されるのかを現在も調べているところである。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

球面の contact homology 自体は単純に表示できるので、それらの間の関係も比較的単純に計算できるであろうと考えて研究を始めたが、実際に行ってみると想定よりも難しく、やや時間がかかっている。とはいえ研究は徐々に進んでいるので、もう少し時間をかければ解明できると思われる。

Strategy for Future Research Activity

ひとまずは、現在行っている球面の contact homology に関する計算を行う予定である。順序としてはまず異なる ellipsoid による表示同士の関係を計算し、そののちに球面の連結和の定める symplectic cobordism の contact homology の計算を行う予定である。これらが終了後、まずはこの計算結果の応用を研究する。その後はより一般の場合の contact homology や symplectic field theory の計算を行う予定である。

Causes of Carryover

コロナ等により海外国内問わず出張が行われず、今年度は旅費として請求していたすべての研究費が使われなかった。そこで、来年度に状況がどのようになるか
わからないが、今年度の未使用分をそのまま来年度に持ち越すことにしたので、次年度使用額が生じている。