2021 Fiscal Year Research-status Report
Development of the theory of partial quasimorphisms and symplectic geometry
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21K13790
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| Research Institution | Aoyama Gakuin University |
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Principal Investigator |
川崎 盛通 青山学院大学, 理工学部, 助教 (80900042)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 擬準同型 / ハミルトン微分同相群 / 共役不変ノルム / non-displaceability / 可積分系 / フラックス準同型 / 交換子長 / 混合交換子長 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
拡張不能擬準同型の成す空間の次元の計算について、いくつかの進捗を得た。特に有界コホモロジーの相対版における五項定理が提案され、見通し良く、本空間の次元が計算できるようになった。更に拡張不能擬準同型の成す空間が消える場合には安定混合交換子長と安定交換子長が一致することもいえて、これらの結果を一つの論文としてまとめて専門誌に投稿した。これは木村満晃氏、松下尚弘氏、丸山修平氏、見村万佐人氏との共同研究であり、彼らとの共著として発表した。
また、(「安定」を外した)混合交換子長と交換子長の一致問題についても考察し、混合交換子長と交換子長が一致する十分条件を見出したり、安定混合交換子長と安定交換子長が一致するのに混合交換子長と交換子長が一致しない例を見出すなどした。これらの結果を一つの論文としてまとめて専門誌に投稿した。これも同じく、木村満晃氏、松下尚弘氏、丸山修平氏、見村万佐人氏との共同研究であり、彼らとの共著として発表した。
ハミルトン微分同相群上の不変擬準同型であるピのカラビ擬準同型がシンプレクティック微分同相群の部分群に拡張するかどうかについて研究した。シンプレクティック微分同相群そのものへの拡張問題については以前に木村満晃氏と行っていたが、その続きの研究を木村満晃氏、松下尚弘氏、見村万佐人氏と行った次第である。その結果、種数2以上の閉曲面の場合に、可換なシンプレクティック微分同相写像のフラックス準同型のカップ積が消滅することを示した。これは特筆すべき成果である。これについても論文にまとめて専門誌に投稿した。
研究目的の一つである『可積分系上のnon-displaceableファイバーについての研究』については、浅野知紘氏と相談して新たな特異ラグランジュ部分多様体を球面直積上で発見することができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
従来の予定とは少しテーマがずれているかもしれないが、可換なシンプレクティック微分同相写像のフラックス準同型のカップ積の研究はカラビ擬準同型を用いてシンプレクティック多様体上の力学系を研究するものであるし、拡張不能擬準同型の成す空間の研究も擬準同型の一般化についての研究である。これらの研究について想定を大きく上回る成果を得たので、(1)の評価で問題ないように考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは、上記の既存の結果の出版に向けて、論文執筆、雑誌投稿、査読報告への対応といった業務を着々と進めていきたい。その上で新たに以下の研究を進める。
可換なシンプレクティック微分同相写像のフラックス準同型のカップ積の研究は高種数曲面についてのものであったが、これを一般のシンプレクティック多様体に拡張したい。その際にシェルキンの擬準同型を用いることを考えている。
また、拡張不能擬準同型の成す空間の研究については、(安定)混合交換子長の大域幾何学に結び付けた研究ができればと考えている。また、この空間は函手と見なすことができるが、そのような見方を前面に押し出した研究も積極的に行ってゆきたい。
可積分系上のnon-displaceableファイバーについても球面直積上の例を増やした上で、他の空間で何ができるかについても考えていきたい。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍によって予定していた出張のいくつかが中止となったことや、パソコンなど備品の購入を見送ったことが原因で当該助成金が生じた。
翌年度分はパソコンなど備品や書籍の購入、旅費などに用いる予定である。
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