2022 Fiscal Year Research-status Report
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21K13792
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
竹内 有哉 筑波大学, 数理物質系, 助教 (60899087)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | CR多様体 / Q-prime曲率 / 繰り込み接続 / 球面的CR多様体 / Kohn-Rossiコホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
共形多様体・CR多様体について研究を行っている．本年度の主な研究成果は以下の通りである．
(1) Q-prime曲率の一般化の計算：擬Einstein接触形式に対してCR Q-曲率が恒等的に0であることから，「二次的」なQ-曲率としてQ-prime曲率が導入された．そしてその積分である全Q-prime曲率はCR多様体の非自明な不変量を定めることも示された．一方で漸近的複素双曲空間の繰り込み接続を用いることで，CR多様体の不変量の族が構成できることが近年明らかになった．この不変量の族には上記の全Q-prime曲率も含まれている．昨年度の研究で，積分がこれらの不変量を定めるようなQ-prime曲率の一般化を構成することができた．本年度の研究では，佐々木η-Einstein多様体と呼ばれるクラスに対してこの関数を具体的に計算することができた．その証明には私が以前に発見したFefferman定義関数の具体的な表示を用いた．
(2) 球面的CR多様体に対するKohn-Rossiコホモロジーの消滅：球面的CR多様体とは単位球面とCR多様体として局所的に同型であるような多様体である．球面的CR多様体の典型例としては，単位球面のCR自己同型群の離散部分群による不連続領域の商が挙げられる．このとき極限集合のPatterson-Sullivan測度を用いることで，商多様体上に自然な接触形式が定まることが知られている．さらにこの接触形式のRicci曲率はPatterson-Sullivan測度を用いて定義されるテンソルになることも知られている．本年度の研究では，この表示を用いることでDolbeaultコホモロジーのCR多様体版に当たるKohn-Rossiコホモロジーが0になる十分条件を与えた．証明にはbigraded Rumin複体に対するWeitzenbock型の公式を応用した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度は本研究課題とは直接的には関係しない研究にも取り組んだことにより，計画の実施に遅れが生じている．しかしながら研究と並行してCR多様体へのはめ込みに関する文献を精読したことが今後の研究の進展に大きく寄与すると考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
漸近的複素双曲空間の面積繰り込みを用いたCR多様体への一般のはめ込みに対する不変量の構成に取り組む．また共形多様体の場合のGraham-Wittenエネルギーの臨界点についての考察も並行して行う．
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| Causes of Carryover |
交付申請の際には国内・海外出張に多くの経費を振り分けていたが，新型コロナウィルスの影響もあり，当該年度は国内出張が2件のみであまり使用することができなかった．しかしながら海外での研究集会も順次再開されているため，次年度は積極的に参加して研究発表や情報収集を行っていきたい.
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