強擬凹複素曲面とその境界に現れる接触構造

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K13797
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 粕谷 直彦 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (70757765)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: 複素曲面 / 接触構造 / 強擬凹境界

Outline of Annual Research Achievements

研究課題(17K14193)において、強擬凹曲面への正則ハンドルの接着法を確立することにより「任意の3次元閉多様体はケーラーな強擬凹曲面の境界として実現可能である」という結果を得た。本研究課題ではその続きとして「強擬凹曲面上のケーラー形式と境界との相性がよい場合、境界上の接触構造はtightか？」という問題に取り組んでいる。
現在のところ、以下の2つのアプローチを試みている。
一つ目は、強擬凹曲面について何らかの意味で小平の埋め込み定理の類似が成り立てば、そこから境界のfillabilityが示され、特に接触構造がtightであることが示されるだろうというものである。このアプローチを推進する観点から、小平邦彦によるコンパクト複素曲面の分類に関する一連の論文、Marinescuによるhyperconcave endのfillabilityに関する論文、Lempertによる3次元強擬凸CR多様体のfillabilityに関する論文などを精読し、複素幾何およびCR幾何の知識・考え方を習得中である。
一方、二つ目の方針は、ハンドル接着によって具体的に反例を構成するというものである。つまり、境界との相性がよいケーラー形式を持ちかつ境界がovertwistedである強擬凹曲面を作るという方針である。現段階では、こちらの方が有望ではないかと予想している。この方針においては、contact (+1)-surgeryに相当する正則ハンドル接着であって、ケーラー形式を適切に延長するものを構成することが重要となる。そのために、Gayによる凹シンプレクティックハンドル接着と我々の強擬凹正則ハンドル接着を融合させることが鍵になると考えている。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

今年度も研究課題に関する目に見える成果は挙げられなかった。所属先の教育負担（特に、院生と学部4年生の指導）および教務の仕事が思いの他重かったことが主たる原因である。一方で、小平邦彦の論文などの精読を通じて、コンパクト複素曲面の理論に対する理解が深まりつつあることは本研究課題を遂行するうえでの収穫である。以上を考慮して「やや遅れている」と判断している。

Strategy for Future Research Activity

Folland-Kohnや大沢健夫氏の著作を通じて、CR構造の解析的扱い、L^2理論を習得すること、また Andreotti や Kiremidjian のstrongly pseudoconcave manifoldに関する結果を根本から理解することが重要である。一方、De Oliveira の例を参考に、compact holomorphic curveの強擬凹近傍を plumbing することにより、強擬凹複素曲面の性質の良い例を多く構成することも鍵となってくるであろう。

Causes of Carryover

所属先の教育負担及び教務の仕事が予想外に重く、多くの研究集会に出張することができなかったことが主な原因である。ドイツのケルン大学に2週間弱研究滞在したが、その際の滞在費は先方が負担してくれたため、その分の支出が減ったという事情もあった。
次年度は、9月にQuy Nhon（ベトナム）で行われる国際研究集会に参加するため、一週間の海外出張を予定している他、共同研究者であるDaniele Zuddas氏（トリエステ大学）の北海道大学への招聘も検討している。主にそれらの出張旅費として助成金を使用する計画である。