2021 Fiscal Year Research-status Report
リッチ曲率を用いた動的なハイパーグラフ-クラスタリング-アルゴリズムの開拓
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21K13800
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| Research Institution | Shimane University |
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Principal Investigator |
山田 大貴 島根大学, 学術研究院理工学系, 助教 (00847270)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | グラフ理論 / ハイパーグラフ / マイヤーソン値 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，グラフの時間変化に対応可能な実用的な動的ハイパーグラフ-クラスタリング-アルゴリズムの開拓である．研究実施計画に則り，当該年度には，「ハイパーグラフに関する研究」と「リッチ曲率に関する研究」を行った．それぞれ次の研究成果が得られた．
１．ハイパーグラフに関する研究
ハイパーグラフのクラスターと密接に関係があるマイヤーソン値に注目した．マイヤーソン値は協力ゲーム理論において重要な概念の１つであり，グラフの各頂点の"重要性"を表す不変量である．このマイヤーソン値を有向ハイパーグラフに拡張して，安定性との関係性を明らかにした．加えて，トイモデルを用いて，実際に有向ハイパーグラフ上のマイヤーソン値を計算することで，マイヤーソン値を用いて有向ハイパーグラフの構造を可視化した．本研究成果は現在，国際雑誌に投稿中である．
２．リッチ曲率に関する研究
櫻井陽平氏（埼玉大）と小澤龍之介氏（防衛大）との共同研究で有向グラフ上のリッチ曲率と熱流との関係を明らかにした．リーマン幾何学において，Strumらが明らかにしたヒートセミグループの勾配計算をリッチ曲率の下限で特徴付けたものを有向グラフに拡張することに成功した．無向グラフの場合は，Munchらによって既に証明済ではあるが，彼らの手法とは異なる方法を用いて証明することができた．本研究成果は，Potential Analysisに受理された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実施計画に記載されている「既存定理のハイパーグラフ上への拡張に関する研究」を遂行し，２つの研究成果を得ることができたため．
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| Strategy for Future Research Activity |
既存アルゴリズムとリッチ曲率の関連性の究明を行う．ここでの目標は，「既存のハイ パーグラフ-クラスタリング-アルゴリズムの各ステップをグラフ上のリッチ曲率を使った形 へと変換することでリッチ曲率とクラスターとの間の関係性をあきらかにすること」である. アルゴリズムの各ステップに用いられているチーガーの不等式や熱方程式，PPRを前年度の成果を用いてハイパーグラフ上のリッチ曲率を使った形へと変換していくことで既存アルゴ リズムとリッチ曲率の関係性を明らかにする.
尚，目標達成できなかった場合，リッチ曲率への変換方法が間違っていると考えられる. これを解決するために，クラスタリング-アルゴリズムの応用先である経済学や情報科学の 視点からクラスターを再定義するか，グラフ上のリッチ曲率の応用先である熱力学や生物学の視点からリッチ曲率を構成する確率測度の定義を見直すといった境界領域の視点から多角 的に問題点を探して改良していく.
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| Causes of Carryover |
コロナの影響で当初出席予定だった研究集会がオンライン開催もしくは中止（延期）となったため，旅費の支出が生じなかった．
翌年度は，延期になった研究集会に参加するだけでなく，オンライン開催になったとしても講演できるような環境を整えられるように助成金を使用していきたいと思う．
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