2021 Fiscal Year Research-status Report
Macdonald及びRuijsenaars作用素に対する固有値問題の代数的解析
| Project/Area Number |
21K13803
|
|---|
| Research Institution | Daiichi University, College of Pharmaceutical Sciences |
|---|
Principal Investigator |
大久保 勇輔 第一薬科大学, 薬学部, 講師 (20869036)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
|
| Keywords | Macdonald多項式 / 戸田関数 / Koornwinder多項式 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
Toda systemのq-類似は量子群の表現論と深い関係性にあり、Macdonald多項式の特殊化としても与えることができる重要な可積分系模型の１つである。q-戸田作用素にはルート系に付随した拡張があり、今年度はそのうちのB型の作用素の固有関数（B型q-戸田関数）の明示公式を証明し、論文を執筆し公表した。この明示公式はB型q-戸田関数からA型のq-戸田関数への分岐公式とみなすことができる。
さらに今年度はC型Macdonald多項式についても解析した。特に、ヤング図が鉤形の場合におけるC型Macdonald多項式の明示公式を証明した（未発表）。この明示公式の証明はSergeev-VeselovによるMacdonald作用素の変形をKoornwinder作用素に適用したものを考えることによって得られる。Sergeev-Veselovの変形では、q-差分だけでなくt-差分を作用素に付け加えた変形を考えており、元々はCalogero-Morser-Sutherland方程式を変形することで、Super Jack多項式やsuper Lie代数への関係性を研究するために与えられた。この種の変形をKoornwinder作用素に適用したもの（変形koornwinder作用素）を考え、その核関数関係式のC型への特殊化を用いることで、ヤング図が鉤形の場合におけるC型Macdonald多項式の明示公式を証明することができる。核関数関係式を得るためには、Ataiによる先行研究があるが、変形koornwinder作用素の自由場表示を用いて導出することもできる。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
q-戸田関数は量子群だけでなく、旗多様体の量子コホモロジーや、アフィンDemazure加群の指標とも深い関係があり、またMacdonald多項式は組み合わせ論や可積分系分野において非常に重要な役割を演じる直交多項式である。q-戸田関数や鉤形のC型Macdonald多項式の明示公式を証明することで、本研究の目的の一部を達成することができたため。
|
| Strategy for Future Research Activity |
Koornwider多項式にはRainsによって与えられたlifted Koornwinder多項式という拡張が知られている。lifted Koornwidner多項式は対称多項式環を無限変数に拡張した対称関数環上で定義され、これを有限変数のローラン多項式へ退化させることで通常のKoornwinder多項式へ退化するように作られている。またlifted Koornwider多項式のC型への特殊化は小池氏、寺田氏の universal symplectic characterのq,t-類似になっている。
今年度証明した明示公式は有限変数の場合に証明したもので、今後はこれをlifted Koornwinder多項式のような無限変数の場合に拡張できないかを検討する。この拡張ができれば、Macdonald多項式のときと同様に、有限変数のまま扱うよりも無限変数に拡張した方が見通しが良くなることが期待される。明示公式の証明に用いたKoornwinder作用素の自由場表示は、このlifted Koornwinder多項式に一致していることが分かっているので、この自由場表示を元にして解析する。
さらに今後は鉤形のMacdonald多項式だけでなく、一般のヤング図に対応するMacdonald多項式に明示公式を拡張したい。またC型以外のMacdonald多項式、さらにMacdonald多項式を楕円化したRuijsenaas関数の明示公式についても考察する。
|
| Causes of Carryover |
コロナウイルス蔓延防止のため、研究打ち合わせのための出張を控えたことや学会が中止されたことが要因で、旅費の支出が抑えられ次年度使用額が生じた。翌年度はコロナウイルスの状況にもよるが、各地でのイベント開催や出張が徐々に認められるようになってきたため、可積分系・表現論分野の学会や研究集会へ参加し情報収集を積極的に行う。また、高次のMacdonald多項式を計算するためのPCやその周辺機器を購入する。
|
