2021 Fiscal Year Research-status Report
表現論に関する無限粒子系における，確率解析的手法の新研究と代数的手法との融合
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21K13812
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| Research Institution | Fukuoka Dental College |
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Principal Investigator |
河本 陽介 福岡歯科大学, 口腔歯学部, 講師 (10825350)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 無限粒子系 / ランダム行列 / 確率解析 / 可積分系 / 無限次元確率微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究が対象とするのは，ランダム行列に関する無限粒子系の確率力学である．ランダム行列に関する無限粒子系は，強い相互作用を持つ系であり，数学的にも物理的にも興味深い．そこで，このような無限粒子系について，自然に対応する確率力学の構成・解析を行いたい．
長距離相互作用する無限粒子系の確率力学における代表的な研究手法としては，特別な2次形式であるDirichlet形式を用いた確率解析的手法と，可積分構造を使った明示的な計算を用いる代数的手法の2つがある．本研究の目標は，無限粒子系の確率力学に対して確率解析的手法と代数的手法の両方からアプローチすることで，両者の長所を取り込み，様々な観点からの解析を可能にすることである．
当該年度では確率解析的手法での研究をメインに行った．1つ目の成果は，粒子配置を表す確率測度である点過程の強収束から，対応する確率力学の収束を導く一般論を確立したことである．これは，Dirichlet形式を用いた一般性の高い定理であり，代数的手法では直接計算するのが困難な収束も示すことができる．
また，ランダム行列の固有値から得られるある重要な無限粒子系の点過程について，対応する確率力学を構成した．この研究では確率解析的手法を用いたことにより，確率力学の（無限次元）確率微分方程式を具体的に記述することができた．さらにこの方程式が，全く振る舞いが異なる別の確率力学と同じものであるという興味深い性質を，厳密に確かめることに成功した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
代数的手法については，海外の共同研究者と行う予定であったが，コロナ禍のため海外の機会がなかった．よって代数的手法での研究はあまり進んでいないが，その代わりに確率解析的手法での研究を中心に進め，2本の論文が当該年度に受理された．
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| Strategy for Future Research Activity |
代数的手法については，海外渡航が可能になり次第，共同研究者を訪ねて研究を加速させたい．一方，海外渡航が難しい状況が続く場合には，引き続き確率解析的手法を用いた研究をメインに進める．
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| Causes of Carryover |
コロナ禍により予定していた複数の出張を原則取りやめたため，旅費を一切使わなかった．特に成果発表と共同研究のために計画していた海外出張が無くなったため，多額の未使用金が発生した．
次年度は海外渡航が可能になり次第，当該年度に訪問できなかった分も含めて出張する計画である．
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