2022 Fiscal Year Research-status Report
Mathematical analysis of nematic liquid crystal flows
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21K13819
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
村田 美帆 静岡大学, 工学部, 准教授 (90754888)
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2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | ネマティック液晶 / Navier-Stokes方程式 / 最大正則性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
数学解析において, ネマティック液晶の分子の運動を表す方程式は大きく2つに分類される. 分子の形状に対称性がある場合は1軸性として分類され, 分子の流れを表すベクトルと長軸方向を表すベクトルを未知関数とする方程式で記述される．これを以下, Ericksen-Leslie modelと呼ぶ. 一方で, 分子を直方体とみなす場合等は2軸性として分類され, 分子の配向方向を表す未知関数はテンソルとなる．これを以下，Beris-Edwards model (Q-tensor model)と呼ぶ. 今年度は以下の2つの問題を考察した．
1. 全空間における圧縮性Ericksen-Leslie model
方程式をLagrange変換し, 線形化すると, 圧縮性Navier-Stokes方程式に対する線形化方程式と熱方程式の連立系となることから, 2つの方程式に対する最大正則性評価と半群の減衰評価を用いてBanachの不動点定理から十分小さな初期値に対し, 時間大域解の一意存在性を得ることができた.
2. 半空間におけるBeris-Edwards model
有界領域や外部領域を含む一般領域で方程式の適切性を得るためには，全空間と半空間における解析が重要である．昨年度は全空間における時間大域的適切性(cf. Murata and Shibata(2022))を得ることができたので, 次のステップとして半空間で考察を行った. まず部分Fourier変換によってレゾルベント問題の解表示を求め，解作用素のR-有界性を示した．次に，線形化問題の解に対する最大正則性評価を導出し，この評価を用いて十分小さな初期値に対する時間局所解の一意存在性を示すことができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の目標はネマティック液晶の流れを表す数学モデルの可解性と解の挙動について考察することである．今年度は2つのモデルについて考察を行い，特に圧縮性Ericksen-Leslie modelについては，全空間における時間大域的適切性と解の多項式減衰評価を得ることができたため，この目標を達成したと言える．また本結果については論文として出版することができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
Beris-Edwards modelの一般領域における時間局所適切性の導出を目標とする．まずは全空間と半空間における結果を用い，レゾルベント問題に対する解作用素のR-有界性を示す．次に線形化問題の解に対する最大正則性評価を導出し，時間局所解について考察する．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスの影響により，研究打ち合わせをオンラインで行うことが多かったため次年度使用額が生じた．差額は書籍購入や論文投稿に充てる予定である．
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