2022 Fiscal Year Research-status Report
複合媒質における固有値問題と最適コーティング形状の解析
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21K13822
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
谷地村 敏明 京都大学, 高等研究院, 特定研究員 (30898797)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 楕円型方程式 / 形状最適化問題 / 過剰決定問題 / 自由境界問題 / 複合媒質 / 数値計算 / 伝送条件 / 不完全界面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題はコーティング問題に由来する形状最適化問題の臨界形状を表す過剰決定問題について考察し，最適コーティング形状の幾何学的な性質や構造について解析するものである．これまでの研究では，コーティングにおける界面において解及びその流量が連続であるという完全界面の仮定をおいて解析していたが，本年度においては解は連続だが流量は不連続な場合における不完全界面を有する二相媒質のSerrin型優決定問題について解析した．こうしたモデルとしては熱伝導体や腐食のある電気伝導体等として知られており，物理・工学的にも興味深い．本研究ではこうした二相Serrin型優決定問題に関して，形状最適化問題がある種の非退化性を持つ場合における同心球近傍における解の一意存在性を証明した．一方ある種の退化性を持つ場合は分岐解を持つことを証明した．さらに，このような自由境界問題における新規アルゴリズムを提案し，その有効性を有限要素法のフリーソフトウェアであるfreefem++を用いて確認した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は不完全界面を有する二相媒質のSerrin型優決定問題について取り組み，形状最適化問題がある種の非退化性を持つ場合における同心球近傍における解の一意存在性や，一方ある種の退化性を持つ場合における分岐解の存在を証明した．この退化・非退化を決める集合は界面での不連続性の度合いを決めるパラメータに依存しており，興味深い．さらに，このような自由境界問題に対して提案された新規アルゴリズムは領域における正則性を考慮した新しいvelocity extension法であり，汎用性が高く他の自由境界問題に適用可能である．以上より，進捗状況は「おおむね順調に進展している」とした．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまで二相Serrin型優決定問題に関して得られた結果を二相固有値問題においても成立するかについて考察する．また，二相Serrin型優決定問題で得られた知見を他の形状最適化問題に適用可能かについても考察する．
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| Causes of Carryover |
Covid-19の感染状況に関わる研究打ち合わせの中止等によって執行できなかった予算が生じた.次年度では研究打ち合わせ等に充てる予定である.
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