2023 Fiscal Year Research-status Report

誘引忌避走化性方程式における時空間パターン解の挙動の支配方程式の解明および解析

Research Project

Project/Area Number	21K13823
Research Institution	Osaka University
Principal Investigator	岩崎悟大阪大学, 大学院情報科学研究科, 助教 (00845604)
Project Period (FY)	2021-04-01 – 2026-03-31
Keywords	誘引忌避走化性方程式 / 構造保存スキーム / 時空間パターン解 / 誤差解析
Outline of Annual Research Achievements	誘引忌避走化性方程式とは，細胞性粘菌と誘引物質と忌避物質の三つの濃度分布の時間変化を記述する方程式であり，ミクログリアという細胞のダイナミクスを記述する数理モデルとしても知られている．既存研究により，定数定常解近傍での時空間パターン解の存在が示されているが，大きな振幅を持つ解，たとえばパルス進行波解などの時空間パターン解の形成メカニズムは詳しく分かっていない．本研究課題では，誘引忌避走化性方程式における時空間パターン解の形成メカニズムを，パルス解同士の相互作用，パルス解の中心座標の振る舞いを決定する低次元ダイナミクスへの帰着，により解明することを目指している．誘引忌避走化性方程式の解には適当な保存量が存在し，パターン形成においてその保存量が重要な役割を持つことは明らかとなっている．よって，数値計算における近似計算でもその保存量を変化させずかつ数値的な振動を抑えるような数値スキームを用いる必要があるが，この問題はKeller-Segel方程式に対する構造保存型の風上差分スキームを誘引忌避走化性方程式に拡張することで，空間一次元と空間二次元の問題に対して既に克服した．特に空間二次元の場合は有限要素法に基づく方法となっているため，任意の形状の２次元空間領域上の数値計算を行うことができ，数多くの興味深い振る舞いをする数値解を得ることに成功している．現在は，空間一次元の場合の数値スキームの理論的な誤差解析の結果をまとめた論文を執筆中である．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 現時点では，空間一次元と空間二次元の構造保存スキームの実装が完了しており，ここから様々な興味深い数値解が得られることがわかっている．今後はそのような特徴的な解の中でもどのような解に焦点を絞り，その生成メカニズムを解明するのかということを整理して研究を進めていく．
Strategy for Future Research Activity	空間一次元の構造保存スキームの理論的な誤差解析はほぼ完了し論文を執筆中のため，次は空間二次元の構造保存スキームの理論的な誤差解析も進めていく．一般に空間次元が上がるほど理論的な誤差解析は込み入った計算が必要になるため，空間二次元の場合は空間一次元の結果から自明に拡張されるものではないことに注意する．また，本研究対象の方程式である誘引忌避走化性方程式が，非局所効果をもつ微分方程式の近似モデルとして導出されることが近年明らかになった．本研究で行っている構造保存スキームの数値計算が，非局所効果をもつ微分方程式の数値計算にどのように貢献できるかという切り口でも研究を進めていく予定である．
Causes of Carryover	ワークステーションの購入を検討していたが，現状の設備でカバーすることができたため，物品費としての支出が大きく減った．次年度に繰り越した金額は旅費として使用することを計画している．