2022 Fiscal Year Research-status Report
Study on the nonlinear geometric heat flow via a geometric analysis approach
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21K13824
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
中村 謙太 熊本大学, 大学教育統括管理運営機構, 特任助教 (40886660)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 局所・非局所混合型作用素 / De Giorgiクラス |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和4年度は, 4本の論文投稿を行い, うち2本が掲載受理された．まず一つは，近年活発に研究されている局所・非局所混合型作用素の楕円型・放物型問題について．特に，中村は局所・非局所二重非線形放物型方程式の正値解に対する弱解に対する弱Harnack評価の導出に成功した．
次に，p-Laplacianを主要部に含む速い拡散・遅い拡散すべてを含む二重非線形放物型方程式に対する，あるエネルギークラスに属する弱解の存在を[Nakamura-Misawa, Nonlinear Anal. (2018)]で獲得した後退差分の方法と，弱収束の方法により証明した，この結果のハイライトは，近似階の空間一階微分のL^p強収束にある．従来，Jungerbulerらのp-調和写像の方法によれば，L^p強収束までは到達しなかったのであるが，Kinnunen-Lidqvist (Adv. Calc. Var. (2006)) による指数型mollifierを用いることにより，この障害を乗り越え，あらゆる拡散方程式に対する(Cauchy-Diriclet問題の)解の存在を担保できた．
残り2つは，分数階放物型DeGiorgiクラスを新たに設定し，局所有界性，弱Harnack評価，下半連続表現ついてまとめ，現在投稿中である．また，最後の4つ目は，分数階p-Sobolev流に対する体積一定問題への変換について，まとめたもので，こちらも投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前年度の時間微分非線形性の扱いに対する理解の習得によって，扱う方程式の対象を広げることがより広範囲になったため，同時進行で色々な分野の研究を遂行でき，当初の予定以上に，進んでいる．
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| Strategy for Future Research Activity |
前年度に引き続き，二重非線形放物型方程式・幾何学的非線形熱流に対する正則性理論の研究を推し進める予定である．新しい分野である局所・非局所混合型作用素に対する正則性理論の研究はなどのほか，De Giorgiクラスと呼ばれるCaccioppoli不等式(エネルギー不等式)のみを満たすある種の関数のクラスについてとても興味を持ったので，新しく測度距離空間と合流させることで，整数階・分数階 or 楕円型・放物型など，範囲を広げて研究を推進したい．
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| Causes of Carryover |
R4年度も新型コロナウイルス感染症の影響で国内出張を自重したため，旅費代を使用することができなかったが，研究推進に必要な物品を購入することで，おおむね順調に研究を推進することができた．また，更なる研究環境整備のため，次年度使用額を含めてR5年度に必要物品を購入する予定である．
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