2022 Fiscal Year Research-status Report
パラメーターを含む非線形分散型方程式の連立系に対する時間大域的可解性について
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21K13825
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| Research Institution | University of Miyazaki |
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Principal Investigator |
平山 浩之 宮崎大学, 教育学部, 准教授 (90748328)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 非線形シュレディンガー方程式 / 初期値問題 / 適切性 / 孤立波 / 基底状態 / 安定性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度は前年度に引き続き、レーザーとプラズマの相互作用を記述する非線形シュレディンガー方程式系(以下NLS系)の初期値問題を考えた。この問題において、解の長時間挙動については十分小さな初期値に対するもの以外はほとんど知られていない。そこで本研究では、孤立波の近傍にある初期値に対する解の長時間挙動について調べた。具体的には次の問題に取り組んだ。(池田正弘氏との共同研究)
(1) 孤立波解は存在するか？
(2) 孤立波の近傍の初期値に対し、解は時間大域的に存在するか？
(3) 孤立波は安定か？つまり、孤立波の近傍の初期値に対し、解も孤立波の近傍に留まるか？
これらの問題を解決するために、保存量に対する変分法的手法を用いた。まず(1)の問題については、作用と呼ばれる保存量を最小にする解(基底状態解)が存在することを前年度までの研究で示しており、孤立波解は基底状態解を用いて構成できることが分かっている。次に(2)については、前年度までの研究で時間大域解が得られるための初期値に対する十分条件は得られていたものの、そのような初期値と孤立波との関連性については分かっていなかった。最後に(3)については前年度までの研究では何も得られていない。
当該年度の研究では、(2)について時間大域解が得られるための初期値に対する条件をより詳細に調べ、基底状態との関係式によって時間大域解が得られる初期値を特徴付けることができた。次に(3)については、まず安定性が得られるための基底状態に対する条件を明らかにした。その上で、どのような基底状態がその条件を満たすかについて考え、空間1次元の場合に伝搬速度が十分遅い孤立波の安定性を示すことに成功した。これらの結果については現在論文を執筆中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非線形シュレディンガー方程式系に対し、時間大域的適切性が得られる初期値の特徴を基底状態との関係式で捉えることができ、前年度までに得られていた結果をより明確にすることができた。さらに、前年度までは得られていなかった孤立波の安定性について前進が見られた。特に、1次元の場合には孤立波の安定性を示すことに成功している。以上の理由から、状況は順調であると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
当該年度までの研究では、孤立波解が満たす楕円型方程式がある意味で退化するzero massと呼ばれる場合を避けてきた。この場合には孤立波の2乗可積分性が保証されないなどの困難さが生じる。次年度以降の研究ではzero massの場合も対象とする。連立系では質量共鳴条件が満たされない場合には単独方程式とは異なる性質が現れるため、そのような性質を用いてzero massの困難さの解消を試みることで、孤立波の近傍での解の挙動の解明を目指す。
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| Causes of Carryover |
当該年度は前年度からの繰越額が多く、それについては自身の出張旅費や研究集会開催に伴う招聘旅費に充てる予定であった。自身の出張旅費については大方予定通りに使用することができたが、招聘旅費については招聘した講演者が自身の研究費を充てるというケースも生じたため、予定通りに使用することができなかった。
次年度についても、助成金は主に自身の出張旅費および研究集会開催に伴う招聘旅費に充て、必要に応じて書籍やWeb会議に用いるための物品の購入に充てる。
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