2023 Fiscal Year Research-status Report

パラメーターを含む非線形分散型方程式の連立系に対する時間大域的可解性について

Research Project

Project/Area Number	21K13825
Research Institution	University of Miyazaki
Principal Investigator	平山浩之宮崎大学, 教育学部, 准教授 (90748328)
Project Period (FY)	2021-04-01 – 2025-03-31
Keywords	非線形シュレディンガー方程式 / 初期値問題 / 定常問題 / 孤立波 / 基底状態 / 安定性
Outline of Annual Research Achievements	当該年度は前年度に引き続き、レーザーとプラズマの相互作用を記述する3本の非線形シュレディンガー方程式の連立系(以下NLS系)の解の挙動について、変分法的手法を用いた研究を行った。前年度までにNLS系の孤立波解の存在および安定性に関する結果が得られていたため、当該年度ではまずその成果を論文としてまとめ、査読付雑誌に投稿した。さらに当該年度は、NLS系の解が2つの電荷保存則（解の2乗積分についての保存則）を満たすことに着目し、それぞれの保存則に対応した振動数パラメーターを持つ孤立波を考えた。孤立波の例としては時間が経過しても伝搬せずに振動する定在波が挙げられるが、本研究では時間の経過とともに伝搬する進行波の存在について調べた。NLS系を構成する3本の非線形シュレディンガー方程式は、線形部分のラプラシアンに各々（一般には異なる）係数が掛けられているが、その係数の値によって非線形相互作用による共鳴構造に違いが現れ、その違いが初期値問題の適切性に影響を与えることが先行研究によって明らかにされている。本研究では、作用と呼ばれる汎関数の値を最小にする進行波解（基底状態）の存在を調べることで、共鳴構造の違いが進行波解が満たす定常問題の変分構造にも影響を与えることを明らかにした。（池田正弘氏との共同研究）特に興味深いことに、適切性に良い影響を与える共鳴構造の場合には、変分構造に悪い影響を与えるという逆転現象が見られた。なお、定在波解では共鳴構造の影響は見られないため、この結果は進行波解を考える意義を与えるものであるといえる。また、今回の結果には、前年度までの研究で扱えていなかったzero massと呼ばれる場合（定常問題がある意味で退化する場合）も含まれている。このzero massの場合を分類する際にも、2つの振動数パラメーターを持つ孤立波が適していることが明らかになった。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 非線形シュレディンガー方程式系に対し、孤立波の存在および安定性についての結果を論文としてまとめることができた。さらに、方程式系の性質をより精密に反映した進行波について考えることで、共鳴構造の違いが定常問題の変分構造に与える影響を明らかにすることができた。さらに、前年度までの研究では扱えていなかったzero massの場合の結果も得ることができた。以上のことから変分法の観点での解の特徴付けについて着実に前進が見られているため、状況は順調であるといえる。
Strategy for Future Research Activity	当該年度の研究では、２つの振動数パラメーターを持つ進行波の基底状態の存在については調べたが、その性質についてはまだほとんど得られていない。そこで次年度は、進行波解の正則性・遠方での減衰および基底状態の安定性について明らかにし、当該年度の結果と合わせて論文としてまとめることを目指す。特に、振動数パラメーターが2つあることにより生じる問題点とその解決策を見出したい。
Causes of Carryover	当該年度所要額の95%以上を使用したため概ね計画通りではあったものの、研究集会を開催した際の招聘費の支出が予定よりも少なかったため、次年度使用額が生じることとなった。次年度使用額については、出張または招聘の際に生じる旅費に充てる予定である。