2023 Fiscal Year Research-status Report
Well-posedness of a model for the dynamics of fluids with the moving contact line
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21K13826
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| Research Institution | Suwa University of Science |
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Principal Investigator |
渡邊 圭市 公立諏訪東京理科大学, 工学部 共通・マネジメント教育センター, 講師 (30875365)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 関数方程式論 / 最大正則性 / ナビエ・ストークス方程式 / べゾフ空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和５年度は主として以下の３つの成果を得た．1）昨年度に引き続き，柴田良弘氏（早稲田大学）との共同研究を通じて，自由境界条件を伴う半空間におけるストークス方程式の初期値境界値に対して，最大L1正則性定理を証明した．特に，時間変数に関してルベーグ空間 L1，空間変数に関して可微分指数 -1+1/q < s < 1/q，可積分指数qの斉次べゾフ空間 B^s_{q,1} の枠組みにおいて，自由境界条件を伴う半空間におけるストークス方程式の解が一意に存在することを示した．さらに，この結果をナビエ・ストークス方程式の自由境界問題に応用し，適当な制限のもとで時間局所適切性及び時間大域適切性を示すことができた．これは従来のDanchin et al.（プレプリント）による結果を大幅に改良するものであり，今後自由境界問題をはじめとする準線型放物型偏微分方程式に新たな展開を与えると期待される．2）2次元外部リプシッツ領域における Lp-ベクトル場のヘルムホルツ分解を示した．ただし，境界が滑らかな場合と比べて p を |1/p - 1/2| < 1/4 + e と制限する必要があったが，この条件は2次元有界リプシッツ領域の場合と同様である．ここで，e は領域にのみ依存する定数で，境界が C1-級である場合は e = 1/4 とすることができる．3）ディリクレ境界条件を伴う，半空間におけるナビエ・ストークス方程式の時間大域適切性を，初期値が斉次べゾフ空間に属する場合に示した．特に，上記 1) とは異なる方法で，解が最大L1正則性を持つことを示した．さらに，解の初期値に関する連続依存性も示した．以上の研究成果は，日本数学会２０２３年度秋季総合分科会をはじめとする研究集会などで発表し，それぞれの研究成果は学術論文として投稿中あるいは出版済みである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
準線形放物型偏微分方程式系に対する最大L1正則性の理論の構築が期待以上に進み，従来よりも正則性の低い初期値に対して方程式系の時間局所・大域解の一意存在を証明する見込みが立ったため．特に，昨年度とは異なり，斉次ベゾフ空間を基礎空間とする準線形放物型偏微分方程式系に対する最大L1正則性理論の構築にも成功したため，様々領域（特に非有界領域）での解析が進むと期待される．実際に，上述の理論構築の際に使用した手法を接触角を伴うストークス方程式の自由境界問題に応用することで，同方程式の時間局所解の一意存在を証明できると期待できる．そのためには接触角付近に生じる特異性をどのように扱うかが鍵になるが，これは最近 Ming（プレプリント）により開発された座標変換により解決できると考えられる．そのため，接触角を伴うナビエ・ストークス方程式の自由境界問題を最大正則性定理の観点から研究する目処が立った．ただし，Ming（プレプリント）により開発された座標変換が粘性を伴う場合，すなわち接触角を伴うナビエ・ストークス方程式の自由境界問題の場合に適用可能かどうかは注意深く確認する必要があるものの，Ming（プレプリント）による座標変換の方法は，ナビエ・ストークス方程式の splash singularity の研究で使われていたものと本質的に同じものであるので，本研究課題に対しても十分適用可能であると期待される．
また，令和５年度は，昨年度に引き続き積極的に海外渡航を行い，P. Tolksdorf 氏（ドイツ）や X. Zhang 氏（中国）らと対面で議論を重ねることができ，本研究課題に関して十分な意見交換等を行うことができた．この意見交換を通じて本研究課題についての理解が進んだ．
以上の研究状況を総合し，研究代表者は，本研究はおおむね順調に進展していると判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
1. 接触角を生成するストークス方程式の自由境界問題の解表示を導出し，同方程式に対する最大L1正則性定理の証明に取り組む．
2. 令和５年度の研究を非圧縮性粘性流体の２相問題や層状領域の場合に拡張する．
3. 接触角を生成するナビエ・ストークス方程式の自由境界問題の定式化に詳しい Matthias Kohne 博士（ドイツ）を研究訪問する．さらに，本研究に関連する国際研究集会を開催し，国内外の研究者と情報を交換する．
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| Causes of Carryover |
諸事情により海外渡航の期間が短くなったため．
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