Research on discrete integrable systems which have biorthogonal polynomial solutions

2024 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 21K13837
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
• Research Institution: The University of Fukuchiyama
• Principal Investigator: Maeda Kazuki 福知山公立大学, 情報学部, 講師 (80732982)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: 双直交多項式 / 離散相対論戸田格子 / ニュートン法 / 離散2次元戸田格子 / 一般化固有値問題

Outline of Final Research Achievements

By applying a reduction procedure to biorthogonal polynomials, we derived a discrete integrable system associated with a pentadiagonal matrix and a solvable analogue of Newton's method for cubic equations. We clarified the algorithmic properties of them through analysis of their solutions. Furthermore, by utilizing the fact that Laurent biorthogonal polynomials and orthogonal polynomials can be directly transformed into each other via spectral transformations, we constructed an algorithm that converts the generalized eigenvalue problem of a bidiagonal matrix pencil into the eigenvalue problem of a tridiagonal matrix with the same eigenvalues.

Free Research Field

直交多項式，離散可積分系

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

離散可積分系は種々のよい数値計算アルゴリズムとみなせるということが知られており，その拡がりが期待されているところである．本研究の成果もまた，こうした一連の研究に貢献するものであると考えられる．また，双直交関数の理論そのものも現在発展が続いているところである中，固有値問題変換アルゴリズムはよく知られた直交多項式を別の双直交関数に移す有力な手法を与えているともみなすことができ，今後の理論のさらなる発展に資することが期待される．