2022 Fiscal Year Research-status Report
Mathematical analysis for the complex network structure via topological approaches
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21K13839
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
関坂 歩幹 明治大学, 研究・知財戦略機構(中野), 研究推進員 (00785107)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | Maslov index / Stability index / 複雑ネットワーク / ネットワーク上の反応拡散系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年は無限次元Stability indexやMaslov indexの性質と，複雑ネットワーク上の拡散方程式および連続極限で現れる非局所方程式とを独立に詳しく調べた．Maslov indexはシンプレクティック幾何学に現れる不変量であるが，これは自己共役な微分作用素の不安定な固有値の個数としか対応させることができない．従って非局所方程式が自己共役か否かがどのような性質によって決定されるかを調べる必要がある．積分核が対称な場合には然るべき関数空間で自己共役作用素となることが知られていたが，対称性が崩れると非自己共役となることがわかった．本結果は関坂(山本)宏子氏との共同研究により得られたもので，反応拡散近似との関係も含めて論文の投稿準備中である．また，ネットワーク上で反応拡散系を考えた場合には，そのネットワーク構造のトポロジーに応じて定数定常解の不安定化のメカニズムが変わることがある．このときいくつかのネットワーク構造に対して，キルヒホッフ条件を接合点での境界条件として持つ場合にMaslov indexやStability indexの枠組みで固有値問題を調べることができることがわかった．Stability indexやMaslov indexの基本的な性質について応用数学勉強会2022および発展方程式における系統的形状解析及び漸近解析：春の学校で連続講演を行った．
無限次元Stability indexについて，時空間パターンや非局所方程式に対する固有値問題へ拡張を行った．本研究は関坂(山本)宏子氏との共同研究により得られたもので，2022年度応用数学合同研究集会および日本数学会2023年度年会で講演を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初は離散的なネットワーク上の拡散方程式と，ネットワークの連続極限を考えることにより拡散方程式の極限として現れる非局所方程式をスペクトルおよびMaslov indexやStability indexなどの位相不変量により調べることを目的としていた．近年，この中間とも思えるネットワーク上の微分方程式が盛んに研究されており，この部分においてネットワーク構造と種々のindexの関係を調べるということを追加で行った．これによりネットワーク上の反応拡散系の不安定化のメカニズムと固有値問題および位相不変量の関係が明らかになってきたが，離散的な状況と連続極限をとった場合の不変量の繋がりを調べるという部分に遅れが生じている．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究方針について，まずは当初の予定通り離散的なMorse理論やMaslov indexと，複雑ネットワークの連続極限で現れる非局所方程式およびスペクトル構造が定める位相不変量との関係を調べる．現在のところ，極限をとった際に離散的なネットワーク上の拡散方程式が定める不変量がどのように連続極限での不変量に繋がるかが全く不明である．実際，隣接相互作用などで起こる相転移現象を位相的に捉えることができるかはMorse関数が鍵となることが知られている．しかしながら，複雑ネットワークの連続極限を取る場合には，ランダムネットワークなどある種の確率分布を用いて極限を取ることになり，Morse関数がどのように現れるかが不明瞭である．したがって，離散と連続の繋がりが見えない場合には，中間の問題であるネットワーク上の微分方程式の性質を詳しく調べる必要があると考えられる．実際，本年で得られた結果により，ネットワークの頂点に辺が何個繋がっているかだけでなく，サイクル構造が定常解の不安定化に深く関係していることがわかっている．この問題についても，深く調べることにより上記の問題に対してMorse関数などの位相不変量を取り出すための関数が構成できると期待できる．
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| Causes of Carryover |
海外で開催される国際研究集会で講演する予定であったが，新型感染症の問題もありオンライン開催となったため旅費を使用することができなかった．また，PCの購入も在庫がなく年度内に購入することが困難であったため断念し，次年度に購入することとした．
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