2022 Fiscal Year Research-status Report
数値代数解析学の開拓 ー量子系偏微分方程式の数値解法の新展開ー
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21K18301
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
宮武 勇登 大阪大学, サイバーメディアセンター, 准教授 (60757384)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
曽我部 知広 名古屋大学, 工学研究科, 准教授 (30420368)
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| Project Period (FY) |
2021-07-09 – 2026-03-31
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| Keywords | 数値解析 / 数値線形代数 / 偏微分方程式 / 微分方程式 / 二次計画問題 / 共役勾配法 / 定常反復法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
偏微分方程式の数値計算は，離散化を担う数値解析学と，行列方程式に帰着された後の数値線形代数学によって支えられてきた．両者はそれぞれが一つの学問領域として成熟し，多くの優れた解法が生成されてきたが，一方で，両領域間の交流は希薄になってきており，偏微分方程式の数値解法の発展の足かせになりはじめている．本研究は，一度は細分化した数値解析学と数値線形代数学を独自の視座で再融合し，特に代数学的精神で解析学を数値的に研究する新しい学理「数値代数解析学」を開拓することを目指すものである．
2年度目は，初年度に開発した適応型射影SOR法について，新たな応用例の研究などを行った．初年度は，偏微分方程式の数値解法や画像処理の文脈を念頭に数値実験による検証を行っていたが，適応型射影SOR法は線形制約付きの二次計画問題全般に応用することが原理的には可能であり，これまでの検証に加えて，機械学習など情報学のいくつかの文脈の問題設定下でも有用であることを検証した．さらに，CG法と微分方程式の関係についても検討を進めた．CG法それ自体について微分方程式との直接的かつ非自明な関係性は依然として発見できていないが，その研究の中で，遅延微分方程式と連立一次方程式の数値解法の間にいくつかの関係性を見出すことができた．その他，KdV方程式やシュレディンガー方程式などいくつかの偏微分方程式に対して，離散化後の行列計算を強く意識した新しい離散化手法の検討を進めた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の中心的な課題の一つである，CG法と常微分方程式の数値解法の非自明な関係性については，依然として発見できていないが，一方で，試行錯誤を重ねる中で，連立一次方程式に対するその他の様々な数値解法と常微分方程式の数値解法の間に新たな関係性を見出すことはできており，これらは，本研究課題全体の目的には大きく寄与するものと考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
CG法については引き続き検討を進めていく．また，これまで開発してきた手法を，必要に応じて改良を加えながら，画像処理分野における（制約付き二次計画問題とは異なる）微分方程式によるモデリングの文脈への応用を進める．
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| Causes of Carryover |
2022年度の特に前半は，Covid19の影響により，当初予定していた国内外の学会や研究集会への参加も難しかったため，予算の大半を繰り越すことになった．今後は，計算機等の導入を検討しつつ，旅費についても情報収集から成果発表にウエイトを移しつつ有効に活用したい．
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Research Products
(9 results)
