2021 Fiscal Year Research-status Report
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21K18575
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
植田 一石 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60432465)
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| Project Period (FY) |
2021-07-09 – 2024-03-31
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| Keywords | ホモロジー的ミラー対称性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Imperial College LondonのYanki Lekili氏と共同で、ホモロジー的ミラー対称性に関する研究を行った。特に、Lekili氏と共同で定式化した、可逆多項式のMilnorファイバーの巻深谷圏を、転置多項式に全ての変数の積として与えられる単項式を加えて得られる多項式の次数付き行列因子化の圏と同定する予想を、任意の正の自然数nに対するn変数n次Fermat多項式に対して証明した。証明の鍵になっているのは、与えられた次数代数に入るA-infinity構造のモジュライ空間と、深谷圏と巻深谷圏の間にあるKoszul双対性である。さらに、証明の過程で、深谷圏のHochschildコホモロジーとシンプレクティックコホモロジーが同型であることも示した。
また、K3曲面の豊富かつ滑らかな因子の補集合として得られるStein多様体に対するホモロジー的ミラー予想を定式化し、因子の次数が2または4の場合に証明した。この場合のミラーは、K3曲面のIII型退化として得られる代数多様体である。これは2次元球面の3角形分割を双対交叉複体に持つ特異曲面であり、各既約成分は有効な反標準サイクルを持つ有理曲面になっている。次数と呼ばれる偶数と、指数と呼ばれる整数を固定すると、球面の三角形分割はある種の変換を除いて一通りに決まり、そこからK3曲面のIII型退化が変形と導来同値を除いて定まる。我々の予想するミラーはこの変形同値類の中のある具体的に指定された元である。証明は、前述のFermat多項式のMilnorファイバーに対するホモロジー的ミラー対称性とMcKay対応を組み合わせることによってなされる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前述のLekili氏との共同研究は、2017年に研究集会で発表し、2018年に最初のプレプリントを公表してから、数年に渡って改良を続けてきたが、当該年度の研究によって一つの区切りを迎えた。当該年度における進展は、適当な仮定の下で深谷圏のHochschildコホモロジーとシンプレクティックコホモロジーが同型であるというSeidelの予想の証明に関わる。この予想は、コンパクトなシンプレクティック多様体におけるHochschildコホモロジーと量子コホロモジーの同型の開シンプレクティック多様体に対する類似物として、2002年の国際数学者会議で提出された重要なものである。巻深谷圏のHochschildコホモロジーが適当な仮定の下でシンプレクティックコホモロジーと同型になることは既に知られていたので、深谷圏のHochschildコホモロジーと巻深谷圏のHochschildコホモロジーの同型を示すことが問題となる。我々は、0でない整数によるコホモロジー的次数の偏移が球状対象による捻関手の適当な合成と同型になるような微分次数圏は、球状対象の生成する充満部分圏の余極限に関する完備化への充満忠実関手を持ち、これらの圏のHochschildコホモロジーが同型になるという一般的な事実を証明し、それを用いて問題の同型を示した。
K3曲面の豊富かつ滑らかな因子の補集合として得られるStein多様体に対して我々が与えたIII型の退化曲面は、それをある特別な方向に変形することによって、任意の射影的なK3曲面に対して、そのミラーとなる族を巨大複素構造極限まで込めて与えると予想される。これは自然にトロピカル幾何学と繋がり、今後の発展の基礎となると期待される。
また、非可換代数幾何学の研究についても一定の進展があったが、これについては論文を準備中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
Lekili氏との共同研究において示された深谷圏と巻深谷圏の間のKoszul双対性は、より一般に対数的Calabi-Yau性を持たないBrieskorn-Pham特異点に対して成立する。これを用いて、Lekili氏と共同で定式化した、可逆多項式のMilnorファイバーの巻深谷圏を、転置多項式に全ての変数の積として与えられる単項式を加えて得られる多項式の次数付き行列因子化の圏と同定する予想を、対数的Calabi-Yau性を持たないBrieskorn-Pham特異点に対して証明することができると期待している。また、巻深谷圏を深谷圏で割って得られる圏を安定深谷圏と呼び、滑らかな射影多様体Xとその滑らかで豊富で因子Dに対し、Dの補集合をUと置くと、自然なLagrange対応によって定まるUの安定深谷圏からDの深谷圏への関手が、Dの深谷圏の直和因子への同型を与えるかという問題に取り組む。
Loughborough大学のTarig Abdelgadir氏、New South Wales大学のDaniel Chan氏、大阪大学の大川新之介氏と共同で行っている非可換代数幾何学に関する研究を継続する。特に、１次元スタックのモジュライをHassettの意味の重み付き点付き安定曲線のモジュライ空間と比較した論文と、スタック的な点の衝突をAbel圏のモジュライの非分離性の観点から研究した論文を公表する。
また、橋本健治氏を特任研究員として雇用し、金沢大学の永野中行氏やCalifornia大学Riverside校のHwayoung Lee氏と行っている共同研究を推進する。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス感染症の影響で出張を全く行わなかったために次年度使用額が生じた。これを用いて橋本健治氏を雇用する計画である。
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